《走向高考》2021届高三二轮复习数学(人教A版)课时作业-专题4-立体几何-第2讲.docx

专题四　其次讲

一、选择题
1．(2021·德阳市二诊)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若已知m⊥n，m⊥α，则“n⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分非必要条件　　 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　⇒α⊥β.⇒/ n⊥β.
2．(2022·重庆理，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．54 B．60
C．66 D．72
[答案]　B
[解析]　如图所示

该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，∵EF∥AC，AC⊥平面ABDF，∴EF⊥平面ABDF，∴EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF＝5，故其表面积为S＝SRt△ABC＋S矩形ACEF＋S梯形ABDF＋S梯形BCED＋SRt△DEF＝＋3×5＋＋＋＝60.
3．(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：
①若n∥m，m⊂α，则n∥α；
②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；
③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；
④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中真命题是(　　)
A．①和② B．①和③
C．②和④ D．③和④
[答案]　C
[解析]　若n∥m，m⊂α，则n∥α或n⊂α即命题①不正确，排解A、B；若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β，则命题②正确，排解D，故应选C.
(理)已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是(　　)
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
[答案]　C
[解析]　对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在平面α内，所以n与平面α不愿定平行；对于选项D，m与β的位置关系可能是m⊂β，m∥β，也可能m与β相交．由n⊥β，α⊥β得，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n故C正确．
4．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四周体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为(　　)

A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由条件知A′E、A′F、A′D两两相互垂直，以A′为一个顶点，A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体，则长方体的对角线为四周体外接球的直径，∵A′E＝A′F＝1，A′D＝2，∴(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R＝.
5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(　　)
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
[答案]　B
[解析]　①过A、C作BD的垂线AE、CF，∵AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图(2)中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直冲突，∴A错；②若AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵AB这样的三角形ABC，AB⊥AC，AB＝AC，∴B选项正确，∴选项D错；③若AD⊥BC，又CD⊥BC，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，∵BC>AB，这样的△ABC不存在，∴C错误．

6．(文)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B.
C. D．1
[答案]　D
[解析]　本题考查了正四棱柱的性质，点到直线距离的求解．连接AC、BD，AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥AC1.则点C到平面BDE的距离等于AC1到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE于H，CH为所求．在△EOC中，EC＝，CO＝，所以CH＝1.本题解答体现了转化与化归的思想，留意等积法的使用．
(理)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是侧棱PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　设AC与BD的交点为O，∵棱锥的各棱长都相等，
∴O为BD中点，∴EO∥PD，∴∠AEO为异面直线AE与PD所成的角，设棱长为1，则AO＝，EO＝，AE＝，∵AO2＋EO2＝AE2，∴cos∠AEO＝＝.

二、填空题
7．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．
①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；
②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；
④若a不垂直于平面α，则a不行能垂直于平面α内很多条直线；
⑤若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中为真命题的是__________．
[答案]　②⑤
[解析]　对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内很多条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
[答案]　3
[解析]　4πR2＝12π，∴R＝，△ABC外接圆半径r＝，∴柱高h＝2＝2，∴体积V＝×()2×2＝3.
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P－ABCD的外接球半径R的取值范围是______________．
[答案]　
[解析]　当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则，∴R＝，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R＝，∴R∈[，]．
三、解答题
10．(文)(2022·江苏，16)如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、ACAB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.

求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
[解析]　(1)由于D、E分别是棱PC、AC的中点，则有PA∥DE，
又PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以PA∥平面DEF.
(2)由(1)PA∥DE，又PA⊥AC，所以DE⊥AC，
又F是AB中点，所以DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，
又DF＝5，所以DE2＋EF2＝DF2，所以DE⊥EF，
EF、AC是平面ABC内两条相交直线，所以DE⊥平面ABC，
又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
(理)(2021·内江模拟)已知ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是AB、BC的中点，PA⊥平面ABCD.

(1)求证：PF⊥DF；
(2)若PD与平面ABCD所成角为30°，在PA上找一点G，使EG∥平面PFD，并求出AG的长．
[解析]　(1)证明：连接AF，∵PA⊥平面ABCD，且DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA，
又F为BC中点，BC＝4，AB＝2，
∴BF＝BA，∴∠AFB＝45°，
同理∠DFC＝45°，
∴∠AFD＝90°，即DF⊥AF，∴DF⊥平面PAF.
又PF⊂平面PAF，∴PF⊥DF.

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA就是PD与平面ABC所成角．
∴∠PDA＝30°，∴PA＝.
延长DF交AB延长线于H，连接PH，则平面PDF就是平面PHD，在平面PAH内，过E作EG∥PH交PA于G.
∵EG∥PH，PH⊂平面PHD，∴EG∥平面PHD，
即EG∥平面PDF，故点G为所求．
∴＝＝，∴AG＝.

一、选择题
11．(文)(2021·吉大附中模拟)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α
B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
[答案]　A
[解析]　由线面垂直的性质定理知A正确；如图1知，当m1⊂β，m1∩n＝A时满足B的条件，但m与n不平行；当m⊥α，m⊥n时，可能有n⊂α；如图2知，m∥n∥l，α∩β＝l时满足D的条件，由此知D错误．

(理)设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①⇒β∥γ　　　　　②⇒m⊥β
③⇒α⊥β ④⇒m∥α
其中，真命题是(　　)
A．①④　　 B．②③　　　
C．①③　　 D．②④
[答案]　C
[解析]　①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不愿定垂直于β；③正确，由线面平行，垂直关系推断正确；④错误，m也可能在α内．综上所述，正确的命题是①③，故选C.

12．(文)(2021·西城区模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是(　　)

A．线段 B．圆弧
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
[答案]　B
[解析]　|AP|＝＝＝|B1E|(定值)，故点P在底面ABCD内运动形成的图形是圆弧．
(理)(2021·保定市模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，P在底面ABCD内运动，且满足∠DPD1＝∠CPM，则点P的轨迹为(　　)

A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
[答案]　A
[解析]　由∠DPD1＝∠CPM得＝＝，
∴＝2，在平面ABCD内，以D为原点，DA、DC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设DC＝1，P(x，y)，
∵PD＝2PC，∴＝2，整理得x2＋(y－)2＝，所以，轨迹为圆的一部分，故选A.
13．(2021·苍南求知中学月考)已知A、B是两个不同的点，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列4个命题：①若m∩n＝A，A∈α，B∈m，则B∈α；②若m⊂α，A∈m，则A∈α；③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β，其中真命题为(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案]　C
[解析]　②∵m⊂α，∴m上的点都在平面α内，又A∈m，∴A∈α，∴②对；由二面垂直的判定定理知，③正确．
二、解答题
14．(文)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝AC.
(1)求证：CN∥平面AMB1；
(2)求证：B1M⊥平面AMG.
[证明]　(1)如图取线段AB1的中点P，连接NP、MP，
∵CM綊BB1，
NP綊BB1，
∴CM綊NP，
∴四边形CNPM是平行四边形．
∴CN∥MP.
∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，
∴CN∥平面AMB1.
(2)∵CC1⊥平面ABC，
∴平面CC1B1B⊥平面ABC，
∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC1B1B，
∴B1M⊥AG.
∵CC1⊥平面ABC，
平面A1B1C1∥平面ABC，
∴CC1⊥AC，CC1⊥B1C1，
设AC＝2a，则CC1＝2a，
在Rt△MCA中，AM＝＝a.
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝a.
∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
∴AB1＝＝＝2a.
∵AM2＋B1M2＝AB，∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM＝A，∴B1M⊥平面AMG.
(理)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，点N为B1C1的中点，点P在棱A1C1上运动．

(1)试问点P在何处时，AB∥平面PNC，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，若AA10,0，m)，A1(2,0，m)，C1(0,2，m)，
∴P(1,1，m)，设平面BCP的法向量n＝(x，y，z)，
则由n·＝0，n·＝0，解得y＝0，x＝－mz，
令z＝0，则n＝(－m,0，－1)，又＝(0,2，－m)，
直线B1C与平面BCP所成角正弦值为，
∴＝，解之得m＝1
∴n＝(－1,0,1)
易求得平面ABP的法向量n1＝(0，－1,1)
cosα＝＝，设二面角的平面角为θ，则cosθ＝－，∴θ＝120°.
15．如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直(图1)，图2为该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角．
(1)依据图2所给的正(主)视图、侧(左)视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上的点，且＝，求证：EF∥平面PDA.

[解析]　(1)该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm的正方形(如图)．

其面积为6×6＝36cm2.
(2)连接BF，延长BF与AD交于G，连接PG.
如图，在正方形ABCD中，
＝，
又由于＝，所以＝，
故在△BGP中，EF∥PG，
又EF⊄平面PDA，PG⊂平面PDA，
所以EF∥平面PDA.
16．(文)(2021·辽宁文，18)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
[解析]　(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.
又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
(2)连OG并延长交AC于M，连接QM、QO，

由G为△AOC的重心，得M为AC中点．
由Q为PA中点，得QM∥PC，
又O为AB中点，得OM∥BC.
由于QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，
MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，
BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，
所以平面QMO∥平面PBC，
由于QG⊂平面QMO.
所以QG∥平面PBC.
(理)(2021·天津六校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.

(1)求证：PE⊥平面ABCD；
(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
(3)求直线BM与CD所成角的余弦值．
[解析]　(1)∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD.
(2)连接EC，取EC中点H，连接MH，HB，
∵M是PC的中点，H是EC的中点，∴MH∥PE，
由(1)知PE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，
∴HB是BM在平面ABCD内的射影，
∴∠MBH即为BM与平面ABCD所成的角．

∵AD∥BC，BC＝AD，E为AD的中点，∠ADC＝90°，
∴四边形BCDE为矩形，又CD＝，∴EC＝2，HB＝EC＝1，
又∵MH＝PE＝，
∴△MHB中，tan∠MBH＝＝，
∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)由(2)知CD∥BE，∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，
连接ME，在Rt△MHE中，ME＝，
在Rt△MHB中，BM＝，
又BE＝CD＝，∴△MEB中，
cos∠MBE＝＝＝，
∴直线BM与CD所成角的余弦值为.