2022高三一轮复习学案(理数)(人教)第七章-立体几何与空间向量-第5课时-空间向量及其运算.docx

第5课时　空间向量及其运算
考纲
索引
1. 空间向量的加减、数乘、数量积运算.
2. 空间向量的有关有关定理.
3. 空间向量的坐标运算.
课标
要求
1. 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2. 把握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3. 把握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积推断向量的共线与垂直.
学问梳理
1. 空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得　　　　. 
(2)共面对量定理:假如两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使　　　　. 
(3)空间向量基本定理:假如三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得　　　　.其中,{a,b,c}叫做空间的一个　　　　. 
推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的一个有序实数组{x,y,z},使　　　　. 
2. 两个向量的数量积
(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a, =b,则　　　　叫做向量a,b的夹角,记作.通常规定　　　　≤≤　　　　.若=　　　　,则称向量a,b相互垂直,记作a⊥b. 
(2)两向量的数量积:
两个非零向量a,b的数量积a·b=　　　　. 
(3)向量的数量积的性质(e是单位向量):
①a·e=|a|　　　　;②a⊥b⇔a·b=　　　　; 
③|a|2=a·a=　　　　;④|a·b|　　　　|a||b|. 
(4)向量的数量积满足如下运算律:
①(λa)·b=λ(a·b);②a·b=　　　　(交换律); 
③a·(b+c)=　　　　(支配律). 
3. 空间向量的坐标运算

基础自测
1. 下列命题:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b确定不共面;
③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.
其中正确命题的个数是(　　).
A. 0　　　　　B. 1　　　　　C. 2　　　　　D. 3
2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b相互垂直,则k的值为(　　).

3.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　).

4.已知四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为　　　　. 
5.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b的夹角的余弦值为　　　　. 
指 点 迷 津　
【想一想】　两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同吗?
【答案】　不相同.两向量夹角的范围是[0,π],两异面直线所成角的范围是.

考点透析
考向一　空间向量的线性运算

【方法总结】空间向量的概念及运算是由平面对量延长而来的,要用类比的思想去把握.在空间向量的加、减、数乘等线性运算中,要选择适当的向量为基底,用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算,同时还要以相应的图形为指导.
变式训练

考向二　空间向量的坐标运算
例2　已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c.求:
(1)a,b,c;
(2)a+c与b+c所成角的余弦值.

【方法总结】空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约,可以将空间元素的位置关系转化成数量关系,将规律推理转化成数量计算,可以化繁为简,因此是处理空间问题的一种重要工具和方法.
变式训练

考向三　共线、共面对量定理的应用
例3　已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.

(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)求证:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有.

【方法总结】在求一个向量由其他几个向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量靠近,进行求解.若要证明两直线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性关系a=λb(λ≠0),即可判定两直线平行.
变式训练

经典考题
典例　(2022·南京一模)P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在平面α,β上引射线PM,PN,假如∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为　　　　. 
【解题指南】　利用向量的数量积为0,求得二面角为90°.
【解】　不妨设PM=a,PN=b,如图,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F,

真题体验
1. (2022·全国新课标Ⅱ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为(　　).

2. (2022·广东)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(　　).
A. (-1,1,0) B. (1,-1,0)
C. (0,-1,1) D. (-1,0,1)
3. (2022·北京)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), .若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则(　　).
A. S1=S2=S3 B. S2=S1且S2≠S3
C. S3=S1且S3≠S2 D. S3=S2且S3≠S1
参考答案与解析
学问梳理
基础自测
1.A　2.D　3.A　4.(5,13,-3)　
考点透析

变式训练

经典考题
真题体验