2021高考数学(文)一轮知能检测：第8章-第7节-抛物线.docx

第七节　抛 物 线

[全盘巩固]
1．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝(　　)
A. B. C．－ D．－
解析：选D　把抛物线方程化为x2＝－2y，则p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.
2．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)
A. B．2 C. D．4
解析：选C　直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设Ax1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
3．(2021·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝(　　)
A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3
解析：选C　FA：y＝－x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝－1，FA：y＝－x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相像知＝＝.
4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝(　　)
A．9 B．6 C．4 D．3
解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又F(1,0)，由＋＋＝0知，
(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
5．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．直线
解析：选A　由点P在BM的垂直平分线上故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．
6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
解析：选C　设P(x0，y0)，依据抛物线定义得|PF|＝x0＋，所以x0＝3，
代入抛物线方程求得y2＝24，解得|y|＝2，
所以△POF的面积等于·|OF|·|y|＝××2＝2.
7．(2021·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝______准线方程为________．
解析：∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，∴＝1，解得p＝2，∴准线方程为x＝－1.
答案：2　x＝－1
8．(2022·丽水模拟)设Q为圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上任意一点，抛物线y2＝8x的准线为l.若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PQ|的最小值为________．

解析：如图由抛物线定义可得，点P到准线的距离等于其到焦点F的距离，故问题转化为点P到焦点的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的学问可知当且仅当点P为圆心C和焦点F的连线与抛物线的交点，Q取CF的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m＋|PQ|≥|CF|－r＝－2＝－2.
答案：－2.
9．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．
解析：

如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.
答案：
10．已知以向量v＝为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若·＋p2＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程．
解：(1)由题意可得直线l的方程为y＝x＋，①
过原点垂直于l的直线方程为y＝－2x.②
解①②得x＝－.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，
∴－＝－×2，p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由题意知y0＝y1.
由·＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0，
又y＝4x1，y＝4x2，解得y1y2＝－8，③
直线ON：y＝x，即y0＝x0.④
由③④及y0＝y1得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)．
11．已知定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且⊥，动点P满足∥，∥ (其中O为坐标原点)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·<0，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)设P(x，y)，E(－1，yE)，F(－1，yF)，
∵·＝(－2，yE)·(－2，yF)＝yE·yF＋4＝0，
∴yE·yF＝－4，①
又＝(x＋1，y－yE)，＝(1，－yF)，
且∥，∥，
∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0，
∴yE＝y，yF＝－，
代入①得y2＝4x(x≠0)，
∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0)．
(2)设l：y－2＝kx(易知k存在，且k≠0)，
联立消去x，得ky2－4y＋8＝0，
Δ＝42－32k>0，即k<.
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝，
·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝－＋1＋y1y2
＝2－＋y1y2＋1
＝＋1<0，
∴－12直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
解：

(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵|PQ|是点Q到直线l的距离．
点Q在线段FP的垂直平分线上，
∴|PQ|＝|QF|.
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为y2＝2x(x>0)．
(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，
圆的半径r＝|MA|＝，
则|TS|＝2＝2，
由于点M在曲线C上，所以x0＝，
所以|TS|＝2＝2，是定值．
[冲击名校]
已知直线y＝－2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，－2)．
∵OP⊥OQ，
∴当x＝0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x≠0.
当x≠0时，得kOP·kOQ＝－1，
即·＝－1，化简得x2＝2y，
∴曲线C的方程为x2＝2y(x≠0)．
(2)∵直线l2与曲线C相切，
∴直线l2的斜率存在．
设直线l2的方程为y＝kx＋b，
由得x2－2kx－2b＝0.
∵直线l2与曲线C相切，
∴Δ＝4k2＋8b＝0，即b＝－.
点(0,2)到直线l2的距离
d＝
＝·
＝
≥×2＝.
当且仅当＝，即k＝±时，等号成立．
此时b＝－1.
∴直线l2的方程为x－y－1＝0或x＋y＋1＝0.
[高频滚动]
1．(2022·宜宾模拟)已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P
满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是(　　)
A. B. C. D．2
解析：选A　由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
将y＝代入，可得点P的横坐标为x＝－.
∴点P到原点的距离为 ＝.
2．(2022·上海模拟)已知双曲线－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．
解析：由题意知F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求得|y0|＝，即|MF1|＝.又|F1F2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离为d＝＝＝.
答案：