2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第五章-第二节等-差-数-列.docx

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课时提升作业(三十)
一、选择题
1.(2022·辽宁高考)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=　(　　)
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24
2.在等差数列{an}中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48，则等差数列{an}的前13项的和为(　　)
(A)104 (B)52 (C)39 (D)24
3.(2021·哈尔滨模拟)已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和且a2=3a4-6,则S9等于　(　　)
(A)25 (B)27 (C)50 (D)54
4.假如等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=　(　　)
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
5.(2021·西安模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且=4,则=　(　　)
(A) (B) (C) (D)4
6.已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是数列{an}的前n项和,则(　　)
(A)S5>S6 (B)S5·延安模拟)等差数列{an}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为　(　　)
(A){1} (B){1,} (C){} (D){0,,1}
二、填空题
8.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=10,则S11的值为　　　　.
9.(2021·渭南模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a10=-10,S3=0,则Sn的表达式为　　　　　.
10.(2021·合肥模拟)设等差数列{an}的公差为正数,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=　　　　.
11.(力气挑战题)设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为　　　.
三、解答题
12.已知数列{an}是等差数列,且a2=-1,a5=5.
(1)求{an}的通项an.
(2)求{an}前n项和Sn的最小值.
13.(2021·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=-5,S5=-20.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)求使不等式Sn>an成立的n的最小值.
14.已知数列{an}中a1=,an=2-(n≥2,n∈N+),数列{bn}满足bn=(n∈N+).
(1)求证数列{bn}是等差数列.
(2)若Sn=(a1-1)·(a2-1)+(a2-1)·a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1),是否存在a与b∈Z,使得:a≤Sn≤b恒成立?若有,求出a的最大值与b的最小值,若没有,请说明理由.
15.(力气挑战题)数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不行能,说明理由.

答案解析
1.【思路点拨】利用首项a1与公差d的关系整体代入求解,也可直接利用等差数列的性质求解.
【解析】选B.方法一:
∵a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d,
∴a2+a10=a4+a8=16.
方法二:由等差数列的性质得
a2+a10=a4+a8=16.
2.【解析】选B.依据等差数列性质与已知得
6a4+6a10=48，
即a4+a10=8，
S13=×13
=×13=4×13=52.
3.【解析】选B.由a2=3a4-6,得a1+d=3(a1+3d)-6,即a1=-4d+3,S9=9a1+36d=
9(-4d+3)+36d=27.
4.【解析】选C.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,由等差数列的性质可知a3+a5=a4+a4,所以a4=4.依据等差数列的性质可知a1+a2+…+a7=7a4=28,故选C.
5.【解析】选A.设公差为d,则由=4,得=4,即4a1+6d=8a1+4d,
即d=2a1.
===.
6.【思路点拨】依据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后依据选项即可推断.
【解析】选D.∵d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0,
且a3+a9=0,∴a6=0,a5>0,a7<0,
∴S5=S6.
【变式备选】(2021·聊城模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19=　(　　)
(A)55 (B)95
(C)100 (D)不能确定
【解析】选B.∵a3a17=10,∴a10=5,那么S19=19a10=95.
7.【解析】选B.等差数列{an}中,设=是与n无关的常数m,所以a1+(n-1)d=ma1+m(2n-1)d对任意n恒成立,即(2md-d)n+(ma1-md+d-a1)=0对任意n恒成立,
故由第一个方程得d=0或者m=.若d=0,代入其次个方程可得m=1(由于a1≠0);若m=,代入其次个方程得d=a1.
8.【解析】S8-S3=10⇒-=10
⇒5a1+8a8-3a3=20
⇒10a1+50d=20⇒a1+5d=2⇒a6=2
⇒S11==11a6=22.
答案：22
9.【解析】设等差数列{an}的公差为d,
由已知条件可得a1+a2+a3=3a2=0,
即
解得故Sn=n-=.
答案：
10.【解析】由已知,得
即消去d,得
-10a1+16=0,解得a1=2或a1=8,
当a1=2时,d=3,
a11+a12+a13=a1+10d+a1+11d+a1+12d=3a1+33d=105;
当a1=8时,d=-3,不适合题意,舍去.
答案：105
11.【解析】∵{an},{bn}为等差数列,
∴+=+===.
∵====,∴=.
答案：
【方法技巧】巧解等差数列前n项和的比值问题
关于等差数列前n项和的比值问题,一般可接受前n项和与中间项的关系,尤其是项数为奇数时Sn=na中,也可利用首项与公差的关系求解.另外,熟记以下结论对解题会有很大挂念:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项和分别是Sn与Tn,则=.
【变式备选】已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是　(　　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【解析】选D.由等差数列的前n项和及等差中项,可得===
====7+(n∈N+),
故n=1,2,3,5,11时,为整数.故选D.
12.【解析】(1)设{an}的公差为d,由已知条件,解得a1=-3,d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-5.

(2)Sn=na1+d=n2-4n=(n-2)2-4.
所以n=2时,Sn取到最小值-4.
【变式备选】在数列{an}中,an=43-3n,则当n为何值时,前n项和Sn取得最大值.
【解析】方法一:∵an=43-3n,
∴an+1-an=[43-3(n+1)]-(43-3n)=-3.
又a1=40,
∴数列{an}是首项为40,公差为-3的等差数列,
∴Sn=na1+d=40n-
=-n2+n=-(n-)2+,
∴当n=14时,Sn最大.
方法二:令an=43-3n≥0,解得n≤=14,
即当n≤14时,an>0,当n≥15时,an<0,
∴S14最大,即当n=14时Sn最大.
13.【解析】(1)设{an}的公差为d,
依题意,得
a2=a1+d=-5,S5=5a1+10d=-20.
解得
所以an=-6+(n-1)·1=n-7.
(2)由于an=n-7,所以
Sn=n=.
令>n-7,
即n2-15n+14>0,
解得n<1或n>14.
又n∈N+,所以n>14.
所以n的最小值为15.
【变式备选】等差数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,满足2S2=a2(a2+1),且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,求数列{bn}的最小值项.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d.
由2S2=+a2,
可得2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d).
又a1=1,可得d=1(d=-2舍去),
∴an=n.
(2)依据(1)得Sn=,
bn===n++1.
由于函数f(x)=x+(x>0)在(0,]上是削减的,在[,+∞)上是增加的,
而3<<4,且f(3)=3+==,
f(4)=4+==,
所以当n=4时,bn取得最小值,
且最小值为+1=,
即数列{bn}的最小值项是b4=.
14.【解析】(1)由题意知bn-1=,
∴bn-bn-1=-=1(n∈N+,n≥2).
∴{bn}是首项为b1==-,
公差为1的等差数列.
(2)依题意有Sna1-1)·(a2-1)+(a2-1)·(a3-1)+…+(an-1)·(an+1-1)
=--.
设函数y=,在x>3.5时,y>0,y'<0,∴y=在(3.5,+∞)上是削减的,
故当n=3时,Sn=--取最小值-.
而函数y=在x<3.5时,
y<0,y'=-<0,
∴其在(-∞,3.5)上也是削减的.
故当n=2时,取最大值:S2=.
a的最大值与b的最小值分别为-3,2.
15.【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),
且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,
故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不行能为等差数列,理由如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得
a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列冲突.
所以,对任意λ,{an}都不行能是等差数列.

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