2021高考数学(文)一轮知能检测：第3章-第3节-三角函数的图象与性质.docx

第三节　三角函数的图象与性质

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1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin|x|
解析：选B　留意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①②.
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
解析：选A　∵0≤x≤9，∴0≤x≤，
∴－≤x－≤，
∴－≤sin≤1，
即－≤2sin≤2.
所以其最大值为2，最小值为－，故最大值与最小值之和为2－.
3．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不行能是(　　)
A. B. C．π D.
解析：选A　画出函数y＝sin x的草图分析知b－a的取值范围为.

4．(2022·丽水模拟)函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

A　　　　　　B

　C　　　　　　D
解析：选D　y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝故选D.
5．(2022·温州模拟)若函数y＝2cos ωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是(　　)
A．2 B. C．3 D.
解析：选B　由y＝2cos ωx在上是递减的，且有最小值为1，则有f＝1，即2×cos＝1，
即cos ω＝.
阅历证，得出选项B符合．
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　)
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
解析：选A　∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.
∵当x＝时，f(x)有最大值，
∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵－π＜φ≤π，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，由函数f(x)的图象(图略)易得，函数f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f等于________．
解析：∵f＝f，
∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f＝±2.
答案：2或－2
8．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|＝

画出函数f(x)的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.
答案：
9．已知函数f(x)＝cos xsin x(x∈R)，给出下列四个命题：
①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；
②f(x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间上是增函数；
④f(x)的图象关于直线x＝对称．
其中真命题的是________．
解析：f(x)＝sin 2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈时，2x∈，故③是真命题；由于f＝sin ＝－，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故④是真命题．
答案：③④
10．函数f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)∵f＝2sin＋1＝2，
∴sin＝.
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
11．(2021·湖南高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
解：f(x)＝sin＋cos
＝sin x－cos x＋cos x＋sin x
＝sin x，
g(x)＝2sin2＝1－cos x.
(1)由f(α)＝，得sin α＝.又α是第一象限角，所以cos α>0.
从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.
于是sin≥.
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.
12．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
故f(x)＝2sin－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，
得－1－≤2sin－≤2－，
故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－ ]．
[冲击名校]
1．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是(　　)
A.∪[6，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－2]∪
解析：选D　当ω＞0时，由－≤x≤，得－ω≤ωx≤ω，由题意知，－ω≤－，∴ω≥；
当ω＜0时，由－≤x≤，得ω≤ωx≤－ω，
由题意知，ω≤－，∴ω≤－2，
综上可知，ω∈(－∞，－2]∪.
2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
③它的图象关于点成中心对称图形；
④在区间上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．
解析：若①②成立，则ω＝＝2；令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，则φ＝.此时f(x)＝sin，当x＝时，sin＝sin π＝0，所以f(x)的图象关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，则f(x)在上也是增函数，因此①②⇒③④.用类似的分析可求得①③⇒②④.
答案：①②⇒③④或①③⇒②④
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1．已知sin θ＝，sin θ－cos θ＞1，则cos θ＝(　　)
A．－　　　　　　B．－ C．－ D.
解析：选A　由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＞1，可得sin θcos θ＜0，又由于sin θ＞0，所以cos θ＜0，即cos θ＝－.
2．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解：由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，
即cos A＝或cos A＝－.
(1)∵当cos A＝时，cos B＝，
又A，B是△ABC的内角，∴A＝，B＝，
∴C＝π－(A＋B)＝.
(2)∵当cos A＝－时，cos B＝－.
又A，B是△ABC的内角，
∴A＝，B＝，不合题意．
综上可知，A＝，B＝，C＝.