【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第4章-第4节-两角和与差的三角函数.docx

第四章　第四节

一、选择题
1．(文)函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π，则a的值是(　　)
A．－1　　　　　　　 B．1
C．2　 D．±1
[答案]　D
[解析]　y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，T＝＝＝π，∴a＝±1.
(理)(2022·浙江温州一适)已知sin2α＝，则cos2(α－)＝(　　)
A．　　　　　　　 B．－
C．　 D．－
[答案]　C
[解析]　cos2(α－)＝＝＝＝，故选C．
2．(2022·新课标Ⅰ)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则(　　)
A．3α－β＝　 B．3α＋β＝
C．2α－β＝　 D．2α＋β＝
[答案]　C
[解析]　解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，
所以＝＝＝tanα.
解法2：∵tanα＝＝，
∴sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，
∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，
∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
3．(文)计算tan75°－tan15°－tan15°·tan75°的结果等于(　　)
A．　 B．－
C．　 D．－
[答案]　A
[解析]　∵tan60°＝tan(75°－15°)＝＝，∴tan75°－tan15°＝(1＋tan15°·tan75°)，
∴tan75°－tan15°－tan15°·tan75°＝，故选A．
(理)(2022·湖北重点中学联考)若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg()，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)
A．1　 B．
C．1或　 D．1或10
[答案]　C
[解析]　∵tanα＝lg(10a)＝1＋lga，
tanβ＝lg()＝－lga，
∴tan(α＋β)＝
＝＝＝1，
∴lg2a＋lga＝0，∴lga＝0或－1.
∴a＝1或.
4．(文)(2022·河北衡水中学五调)已知sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于(　　)
A．－　 B．－
C．　 D．
[答案]　C
[解析]　∵sin(α＋)＋sinα＝－，－<α<0，
∴sinα＋cosα＝－，
∴sinα＋cosα＝－.
∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝.
(理)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α、β均为锐角，则β等于(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　C
[解析]　∵α、β均为锐角，∴－<α－β<，
∴cos(α－β)＝＝，
∵sinα＝，∴cosα＝＝.
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝.
∵0<β<，∴β＝，故选C．
5．(2021·云南师大附中月考)已知x＝是函数f(x)＝asinx＋bcosx的一条对称轴，且f(x)的最大值为2，则函数g(x)＝asinx＋b(　　)
A．最大值是2，最小值是－2 B．最大值可能是0
C．最大值是4，最小值是0 D．最小值不行能是－4
[答案]　B
[解析]　由f(x)＝asinx＋bcosx的一条对称轴是，得f(0)＝f()，即a＝b，a2＋b2＝8，解得a＝b＝2或a＝b＝－2，所以g(x)＝2sinx＋2或g(x)＝－2sinx－2，故选B．
6．(2022·四川成都五校联考)已知锐角α满足cos2α＝cos(－α)，则sin2α等于(　　)
A．　 B．－
C．　 D．－
[答案]　A
[解析]　∵α∈(0，)，
∴2α∈(0，π)，－α∈(－，)．
又cos2α＝cos(－α)，
∴2α＝－α或2α＋－α＝0，
∴α＝或α＝－(舍)，
∴sin2α＝sin＝，故选A．
二、填空题
7．函数f(x)＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴是直线x＝，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角的大小为________．
[答案]　(或135°)
[解析]　f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点，
∴f()＝±，∴＝±，解得a＋b＝0.∴直线ax－by＋c＝0的斜率k＝＝－1，
∴直线ax－by＋c＝0的倾斜角为135°(或)．

8．(2022·陕西咸阳质检)已知α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.
[答案]　
[解析]　∵α∈(0，)，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cosα＝，sinα＝，
∴
＝
＝.
9．(文)已知α、β∈(0，)，且tanα·tanβ<1，比较α＋β与的大小，用“<”连接起来为________．
[答案]　α＋β<
[解析]　∵tanα·tanβ<1，α、β∈，
∴<1，∴sinα·sinβ0，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<.
(理)已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x2＋4x－5＝0的两实根，则＝________.
[答案]　1
[解析]　∵tanα、tanβ为方程x2＋4x－5＝0的两根，
∴
∴＝＝
＝＝1.
三、解答题
10．(2022·湖北理，17)某试验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求试验室这一天的最大温差；
(2)若要求试验室温度不高于11℃，则在哪段时间试验室需要降温？

[解析]　(1)由于f(t)＝10－2(cost＋sint)＝10－2sin(t＋)．
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin(t＋)≤1.
当t＝2时，sin(t＋)＝1；当t＝14时，sin(t＋)＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故试验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，试验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin(t＋)，故有10－2sin(t＋)>11，即sin(t＋)<－.
又0≤t<24，因此
一、选择题
11．(2022·广东中山一模)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于(　　)
A．－　 B．
C．－　 D．
[答案]　D
[解析]　∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)．
∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝(－)×(－)＋×＝.
12．(文)(2022·青岛模拟)若(4tanα＋1)(1－4tanβ)＝17，则tan(α－β)等于(　　)
A．　 B．
C．4　 D．12
[答案]　C
[解析]　由已知得4tanα－16tanαtanβ＋1－4tanβ＝17，
∵tanα－tanβ＝4(1＋tanαtanβ)，
∴tan(α－β)＝＝4.
(理)(2022·福建福州一中期末)已知锐角A，B满足2tanA＝tan(A＋B)，则tanB的最大值为(　　)
A．2　 B．
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　由2tanA＝tan(A＋B)可得2tanA＝，
∴2tan2AtanB－tanA＋tanB＝0.
∴tanB＝
＝，
又A为锐角，∴tanA>0，∴2tanA＋≥2，
∴tanB≤，故选D．
13．已知sinβ＝(<β<π)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝(　　)
A．1　 B．2
C．－2　 D．
[答案]　C
[解析]　∵sinβ＝，<β<π，∴cosβ＝－，
∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ
＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，
∴sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.
14．(2021·忻州一中期中)命题：∀x∈[0，]，使3cos2＋sincos
A．(1，＋∞)　 B．(，＋∞)
C．(，＋∞)　 D．(，＋∞)
[答案]　D
[解析]　3cos2＋sincos＝＋sinx＝＋(cosx＋sinx)＝＋sin(x＋)sin(x＋)，由于x∈[0，]，故x＋∈[，]，故sin(x＋)的最大值为，要使不等式恒成立，则a>，选D．
二、填空题
15．设f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(＋2x)，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，则
①f()＝0
②f(x)的周期为2π
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
④存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交
以上结论正确的是________．(写出全部正确结论的编号)
[答案]　①③
[解析]　f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(＋2x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)，其中，tanφ＝，
∵f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，
∴|f()|＝，∴2×＋φ＝kπ＋，
∴φ＝kπ＋，
又f(x)的周期T＝π，故①③正确，②④错误．
16．(2022·甘肃酒泉模拟)＝________.
[答案]　－4
[解析]　原式＝
＝
＝
＝＝＝－4.
三、解答题
17．(文)(2022·广东东莞一模)已知f(x)＝2cos(sin＋cos)－1，x∈R.
1)求f(x)的最小正周期；
(2)设α，β∈(0，)，f(α)＝2，f(β)＝，求f(α＋β)的值．
[解析]　(1)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，f(x)的最小正周期T＝2π.
(2)∵2sin(α＋)＝2，∴sin(α＋)＝1，
∵<α＋<，
∴α＋＝，∴α＝.
∵2sin(β＋)＝，∴sin(β＋)＝，
∵<β＋<，<，
∴<β＋<，cos(β＋)＝，
∴f(α＋β)＝2sin(α＋β＋)
＝2sin(＋β)＝2cosβ
＝2cos[(β＋)－]
＝2cos(β＋)cos＋2sin(β＋)sin＝.
(理)(2022·北京海淀一模)已知函数f(x)＝2sinx·cosx，过两点A(t，f(t))，B(t＋1，f(t＋1))的直线的斜率记为g(t)．
(1)求g(0)的值；
(2)写出函数g(t)的解析式，求g(t)在[－，]上的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝sinx，g(0)＝＝sin－sin0＝.
(2)g(t)＝＝sin(t＋)－sint
＝sintcos＋costsin－sint＝－sint＋cost＝－sin(t－)，
由于t∈[－，]，所以t－∈[－，]，
所以sin(t－)∈[－1，]，所以g(t)在[－，]上的取值范围是[－，1]．
18．(文)已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2x
(1)求函数f(x)的值域及最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
[解析]　(1)f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x－(cos2x＋1)
＝2－1＝2sin－1.
由－1≤sin≤1得，
－3≤2sin－1≤1.
可知函数f(x)的值域为[－3,1]．
且函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)解得，

kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(理)已知函数f(x)＝2sinxcos(x＋)－cos2x＋m.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[－，]时，函数f(x)的最小值为－3，求实数m的值．
[解析]　(1)∵f(x)＝2sinxcos(x＋)－cos2x＋m
＝2sinx(cosx－sinx)－cos2x＋m
＝sinxcosx－sin2x－cos2x＋m
＝sin2x－－cos2x＋m
＝sin2x－cos2x－＋m
＝sin(2x－)－＋m.
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x≤，
∴－≤2x－≤，∴－1≤sin(2x－)≤.
∴ f(x)的最小值为－1－＋m.
由已知，有－1－＋m＝－3，∴m＝－.