2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第三章第3课时.docx

[基础达标]
1．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．由α∈(0，)，sin2α＋cos 2α＝得sin2α＋2cos2α－1＝，即cos α＝.故α＝，所以tan α＝.
2．(2022·湖南衡阳模拟)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝.
3．(2022·高考重庆卷)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：选A．由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
tan(α＋β)＝＝－3.
4．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C．cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝
＝cos＝－1.
5．2022·河南开封质检)已知tan α＝4，则的值为(　　)
A．4 B．
C．4 D．
解析：选B．＝，
∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos2α得＝＝.
6．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
解析：依据已知条件：
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.
又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，
∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.
答案：1
7．(2022·甘肃兰州一模)＝________．
解析：＝＝
＝＝.
答案：
8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin(β＋)＝________．
解析：依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，因此有cos β＝－.
sin(β＋)＝－sin(β＋)
＝－sin βcos －cos βsin＝.
答案：
9．已知α是锐角，且＝，求角α的值．
解：∵
＝
＝
＝＝
＝＝＝tan α，
∴由已知可得tan α＝.
又∵α是锐角，
∴α＝.
10．已知α∈，且sin＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1)由于sin ＋cos ＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又＜α＜π，所以cos α＝－.
(2)由于＜α＜π，＜β＜π.
所以－π＜－β＜－，
故－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×
＝－.
[力气提升]
1．(2022·高考重庆卷)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选C．原式＝
＝
＝＝sin 30°＝.
2．(2022·山西晋中名校高三联合测试)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝
为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)
A． B．
C． D．与a0有关的一个值
解析：选A．集合相对a0的“正弦方差”
ω＝
＝
＝
＝
＝
＝.
3．已知sin(α－45°)＝－，0°＜α＜90°，则cos α＝________．
解析：∵0°＜α＜90°，∴－45°＜α－45°＜45°，
∴cos(α－45°)＝＝，
∴cos α＝cos[(α－45°)＋45°]
＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°
＝.
答案：
4．化简·＝________．
解析：原式＝tan(90°－2α)·＝··＝··＝.
答案：
5．已知函数f(x)＝sinsin(＋)．
(1)求函数f(x)在[－π，0]上的单调区间．
(2)已知角α满足α∈(0，)，2f(2α)＋4f(－2α)＝1，求f(α)的值．
解：f(x)＝sin sin(＋)
＝sin cos ＝sin x.
(1)函数f(x)的单调递减区间为[－π，－]，单调递增区间为[－，0]．
(2)2f(2α)＋4f(－2α)＝1⇒sin 2α＋2sin(－2α)＝1
⇒2sin αcos α＋2(cos2α－sin2α)＝1
⇒cos2α＋2sin αcos α－3sin2α＝0
⇒(cos α＋3sin α)(cos α－sin α)＝0.
∵α∈(0，)．
∴cos α－sin α＝0⇒tan α＝1得α＝，
故sin α＝，∴f(α)＝sin α＝.
6．(选做题)已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
又2α∈.
∴cos 2α＝＝，
∴tan 2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，sin＝，
∴cos＝，
于是sin 2＝2sin·cos＝.
又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－，
又2β∈，∴sin 2β＝，
又cos2α＝＝，α∈，
∴cos α＝，sin α＝.
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×－×＝－.