2021高中数学(人教A版)选修2-3课时作业22.docx

2．3　离散型随机变量的均值与方差(习题课)
课时作业(二十二)
1．已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P
0.4
0.2
0.4
则E(X)和D(X)分别等于(　　)
A．1和0　　　　　　　　 B．1和1.8
C．2和2 D．2和0.8
答案　D
2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成果如下表
甲的成果
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5

乙的成果
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6

丙的成果
环数
7
8
9
10
频数
4
6

6
4
s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成果的标准差，则有(　　)
A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3
C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1
答案　B
3．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．
答案　0.196
4．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则始终试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差D(ξ)(保留3位有效数字)．
解析　ξ的取值为1,2,3,4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若 ξ＝2，表示第一次未投中，其次次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
0.7
0.21
0.063
0.027
E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417,
D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.
5．从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设大事A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.96.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；
(2)若该批产品共100件，从中一次性任意抽取2件，用ξ表示取出的2件产品中的二等品的件数，求ξ的分布列及期望．
解析　(1)记A0表示大事“取出的2件产品中无二等品”，A1表示大事“取出的2件产品中恰有1件是二等品”，则A0、A1互斥，且A＝A0＋A1.故P(A)＝P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝(1－p)2＋Cp·1－p)＝1－p2.
由题意，知1－p2＝0.96，又p>0，故p＝0.2.
(2)ξ可能的取值为0,1,2.
若该批产品共100件，由(1)知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

所以ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.
6．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
解析　这3张卡片上的数字之和为ξ，这一随机变量的可能取值为6,9,12.
ξ＝6表示取出的3张卡片上标有2，则
P(ξ＝6)＝＝.
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则
P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则
P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P

∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
7．工人在包装某产品时不当心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．
(1)求报废的合格品少于2件的概率；
(2)求ξ的分布列和数学期望．
解析　(1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1，
而P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
故P(ξ<2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
由(1)知P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
8．(2022·福建理)受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次毁灭故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次毁灭故障时间x(年)
02
02
轿车数量(辆)
2
3
45
5
45
每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次毁灭故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂估量今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解析　(1)设“甲品牌轿车首次毁灭故障发生在保修期内”为大事A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1
1
2
3
P

X2的分布列为
X2
1.8
2.9
P

(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
由于E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
9．某单位在应聘会上，设置了难度不同的甲、乙两个系列的问题，每个系列都有A和B两个问题，应聘时每个应聘者自选一个系列问题，两个问题的得分之和为该应聘者的成果．假设每个应聘者完成每个系列中的两个问题的得分是相互独立的，依据应聘的个人综合水平可知，某应聘者能回答甲系列和乙系列问题的状况如下表：
甲系列：
问题
A
B
得分
100
80
40
10
概率

乙系列：
问题
A
B
得分
90
50
20
0
概率

现该应聘者最终一个应聘，其之前应聘者的最高得分为118分．
(1)若该应聘者期望成为应聘者中的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其成为第一名的概率；
(2)若该应聘者选择乙系列，求其成果X的分布列及其数学期望E(X)．
解析　(1)若该应聘者期望获得第一名，应选择甲系列．理由如下，选择甲系列最高得分为100＋40＝140>118，可能成为第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110<118，不行能成为第一名．
选甲系列成为第一名的概率为，
P(甲为第一名)＝×＋×＝.
(2)X的取值为：50,70,90,110.
P(X＝50)＝，
P(X＝70)＝×＝，
P(X＝90)＝×＝，
P(X＝110)＝×＝.
∴E(X)＝104.

1．(2022·湖北理)依据以往的阅历，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：

降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：
(1)工期延误天数Y的均值与方差；
(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解析　(1)由已知条件和概率的加法公式有：
P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，
P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，
P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以Y的分布列为：
Y
0
2
6
10
P
0.3
0.4
0.2
0.1
于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.
(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7.
又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6，
由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.
故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.
2．一种电脑屏幕疼惜画面，只有符合“O”和“△”随机地反复毁灭，每秒钟变化一次，每次变化只毁灭“O”和“△”之一，其中毁灭“O”的概率为p，毁灭“△”的概率为q，若第k次毁灭“O”，则记ak＝1；毁灭“△”，则记ak＝－1.令Sn＝a1＋a2＋…＋an.
(1)当p＝，q＝时，求S4＝2的概率；
(2)当p＝q＝时，记ξ＝|S4|，求ξ的分布列及数学期望．
解析　(1)“S4＝2”即电脑屏幕变化4次(相当于4次独立重复试验)，其中“O”毁灭3次，“△”毁灭1次，∴其概率为：P(S4＝2)＝C()2×＝，
即S4＝2的概率为.
(2)由题ξ的取值有：0,2,4.
记：y表示电脑变化4次中“O”毁灭的次数，则y～B(4，)，P(ξ＝0)＝P(y＝2)＝C()2()2＝，
P(ξ＝2)＝P(y＝1)＋P(y＝3)
＝C()×()3＋C()3×()＝＝，
P(ξ＝4)＝P(y＝0)＋P(y＝4)
＝()4＋()4＝，∴ξ的分布列为：
ξ
0
2
4
P

ξ的期望为：E(ξ)＝0×＋2×＋4×
＝1＋＝.