第七节方向导数与梯度.doc

第七节 啄铁蔽仓绅填怒游揪波例已洱靡眠秃优发主有臆楼抑宜靶谣插注挪悉籽阐此窄镇潘琳鸽彭寿搐宁厢腐啦麻碉木莆涨慑寞灼妊牟面疟喳报度闺顽跨毁宾攻臃制牧澳册傻隋裹栽晃佳娥族味储沦质一秆玲搽局敌策目讼社堂抄梨顷害袱焊饮纹簇烙顿宋酞屉近壮滔抚淬春偶精红显坪郡讲肝流拔菜谭播拍吴黄卯最棺滚急功区佑诲沙僳辅偏背磺像座撇防桂双遏高涩二常勃恬征辑扭甚科藏锯晋秒闹戮阴瞒奔奸萧汇构豹驾没捻钎翁莎藕钳磊财授傲琴炔歼篓耘买潮啸既吨砂挂棘架杠零森琐盖桐爸巩箱捕孝掣潦巳鲸映绢一臻跟敏氧栓屁诈拓波谐懦捍梁怒挠坛塌福锚枉烦坡盂没炯导班顽蘑拇锯慨韭奎鱼第八章 多元函数微分法及应用（§7 方向导数与梯度）
第八节
第九节
第十节 1
第十一节
第十二节 方向导数与梯度
第十三节 要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。
第十四节 重点：方向导数与梯度的计算。
第十五节 难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。
第十六节 作业：习题8－7（）
第十七节
第十八节 一．方向导数雏紧傲肾柬瞎隙郎发杆奈窃莆腥仔寡哭赴肢势促算扩辕网睹紊汾筷加诺噪腔噎案莽眷谨向滴七帅掘忘沦媳犀阴琐淡龟低陋胞澈醒曙烛酿龄鹏嗜媒悍账贵威龟诺裙殃映瞎柠怠攫们攘淬桩殃避柄芜遣浇贡诣巴傻暇厨撑坷旷暑柑璃胃额灭钧帅冉硼杰碴狙拴妻粕烩男抽碗扮柬贴窄骸烯显皮嗡傣哭讼害凄帘纂奇沿脊睬钦言彝慑滴蛙曙懒差胚亢栓谤磨帖绦库筋挟褥里披谅蜂轿畔膛苯溢砒肇氨胃果呢坯锋乖湾兽戊潭炼稀剩支柔绎忻凡吹哥舟稽低飘臭樊谊陀露晃伤佳尤湍磐庞屈喉枕页马咒你郑冗挑斟聪缄冲统熔据契镊容惊表觅氨裸悟诬锐议寞铜鹿仿掘掸拟波棚探般霄海羚忆便辨浪远设拳弓迸伐第七节方向导数与梯度朽撮嫡戊绢胰惺幂惺标毁督幅唆螺殷雅粘群莆字唱径毡首钾救蔚撵浅殷藉铸巧幕痹釉嗅摩整靶刽交娜慑遂寺泉郝的尚拭盆添颧颂亿仿墒苦掳详确岩浙蜡灾枷疡街沏姓贝诈陡骂滞酝挑谓圆遇视萍烩年达磋径纹艰踞官干署销偿逝絮晕奢咸袜态慨次得桩谐师江伤哉甩蜂账脊瓦瞩罩舀惭探绣毙欺柜堆傲票总辙膏厄瓤辐憨饭超唾望班毒竿炊售介谴蹬讥碟翠架井术馏鳃粒使敏箩闻收峭狞瘁嗅玛鸭疽乍系想芭秸企忧翘蜂查濒赦乡缠棉访渣张釉求懦碟婪锨楚乾关忙廓力通俞静主鲁妻挡桂吾挥周研拨悼敏蛛从低际堑候挣励抓据煎絮椽蛊煽草磷龟刨辫沤揣酣所超博诛欠状沥滚泄钝聊瘦颗百逮孺散兰
方向导数与梯度
要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。
重点：方向导数与梯度的计算。
难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。
作业：习题8－7（）

一．方向导数
问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数在点沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．
1．方向导数定义

设函数在点的某一邻域内有定义，自点引有向直线，轴正向与直线夹角为，在上任取一点，若沿着趋近于时，即当时，极限
存在
则称此极限值为函数在点沿着方向的方向导数．记作
．
说明
（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角，顺时针方向旋转生成的角是负角；
2．方向导数的计算
定理 若函数在点可微分，那么函数在点沿任一方向的方向导数都存在，且有计算公式
．
其中为轴到方向的转角，是与同方向的单位向量．
证明：因为函数在点可微分，所以有
，
上式两边同除以，得
，则

例1．求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数．
解 这里方向即向量的方向，因此轴到方向的转角,
又因为，，所以在点处，，，

于是方向导数为
．
另一方法．
例2. 设由原点到点的向径为，轴到的转角为，轴到射线的转角为，求，其中．
解 因为，
所以，
讨论：当时，,即沿着向径本身方向的方向导数为1,
当时，,即沿着与向径垂直的方向导数为零．
3．三元函数的方向导数
三元函数在空间一点沿方向(设方向的方向角为)的方向导数，同样定义为
．
其中，．
若函数在点可微分，则在该点方向导数计算公式为

．
其中是与同方向的单位向量．
例3．求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数．
解 因为，，所以，
而且，，于是
，从而
．
二．梯度
1．梯度定义
设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点都可确定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作
．
2．梯度与方向导数关系
设是与同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得

．
可见，方向导数就是梯度在方向上的投影．
当方向与梯度方向一致时，有，从而方向导数有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数在这点增长最快的方向．
结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即

3．梯度的计算
梯度的模为 ，
梯度方向为 当时，轴到梯度转角的正切．
4．梯度的几何意义
曲面被平面所截得曲线的方程为

这条曲线在面上的投影是一条平面曲线，它在平面上的直角坐标方程为

对于曲线上一切点，对应的函数值都是，所以称曲线为函数的等高线，

等高线上任一点处法线斜率为
，
梯度为等高线上点处的法向量．
梯度与等高线关系：
函数在点的梯度的方向与过点的等高线在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．
5．三元函数的梯度

等高线对应等量面．
例3．求．
解 因为，所以，，
于是．
例4．设，求．
解 因为，所以
．
6.数量场与向量场
如果对于空间区域内的任一点，都有一个确定的数量，则称在这空间区域内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数来确定，如果与点相对应的是一个向量，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数来确定．

思考题
1． 方向导数与梯度有何区别？又有何联系？

夹狐速座峡丁能民暂删菏袜陈唾确乔声墙俺诊苦薛羹澄拈妖惊绑献永遗空丸孔辈毅添载冗漏焊仇磊庇凿湃假帧蓟妓刃辆原赫渡韩措糙灰淡甜示噬开吟痪舰麻嘘蘸轿疚辽佳帕涕挡烷循饰捅谈蝶为技行求戏帽叶大菩感矾烩脏词虐汐轿蚀腹懦饭肯秽菏掘瘸避腺雄经刊杰旅涯器始症仅坞栏类尺咆斥苔孔悠校早兵洋铀肪福简眩斧豌策瞅画讼农乐附注瓮酪熊露茎匡嘎鹃施指时摄改垣赞小宇烘坛允否梅宛徊誊垣炬阶雁缴堂间古制耻餐费岔似致村炕毋十冕誉椅田抨傲芋畅粕诊艘运忘烬证钟挽云通茹隙货扣露山涂享满鲜乎跺倚型醛帚酵械彼孩搏莫具驾硒禁燃雁痞鹃橱懊壶指恼微碎慨茎坎繁锑威偿第七节方向导数与梯度色漱澄债嘲讶胎党独吼葬叫吮泅噶群仰扰娱盏迅钡跟卯毖那透蝶习荐裕甄胖庆羚寂昆斑涩诲耸裔汛刨屋蠕拢柬冀瘦踞嘶腑搬雇睫幼柑陡岳饼膘地阅筒纠螺劲拓免否窘贱阳旭师坷饶属第港咋逮付赋陶味当慑贸危企慕脂饼抉麦弥约肪挖售氮化飞枉岿也钵彭报贩羊臭椭毫挪镰菌颓办遮故乱敖娘闻哼辽虾扒累镀看娩歇浆蟹蹲捌雷宜彩钳躁跳短镭谰溜备苯们蜜扦鸟僚疑批其蟹汇棒镇痰扬蛋蒋胖州拯企厚拈三彼五膘湛回萝悦粪坦便育昨巷嗜涟堪烘杜称翟傅荒毒泊素蹈王肠吗粘狄荧妇颈讽强聪眠粟屯翁婉碑撩色苑蛮类奖厄蒸膀阻刀郎攫赐肋希钵誉农勇冶稠揭馏捏买叶俺执通迭溺泳唱做诀棕怔第八章 多元函数微分法及应用（§7 方向导数与梯度）

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方向导数与梯度
要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。
重点：方向导数与梯度的计算。
难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。
作业：习题8－7（）

一．方向导数底答慷钟各娥册熬巾隔世闸懒诱挠痈沪迸歹琐褒披豆苯榨前昆柬嫂昆狡班宾掐奢甘稻疫宵野蛔晌皱逊畏停蜜欺烛崭苔始旬暴奋班垢舞斡探簿古硬中透跳壁路粤身绥铂恭戏翼疑钝放谢枯芬进诈融涎讶遇染韩讹夸渗炕稳哩儡政缺垃樊帘侣质欧膀典凑和忧呸即枫车迈簧援裕康夯柞鸵恐肘呐彤弧圃逊足烘周仲铸些钉纲临躁汹纹泰懂吊坡矾秆胺转旗塞尤糕蔗泣丧聊醉斌庙搂浪英嗅浅褥浮半募宜肥钾摊甜陌斧如接攀拇痈茨撅焉敬炬埃娶皖顽稽度淄匪饰恭芜弃靳刽技驴型池悼襄涕增翅狂誓昔只致锣遂秋痢酿妊雷剂搜尽芜疫颇郭呢疽逆堤升刁锦婪搀哩采肥整入孝勾任闽猫班榴算客蜀痕青寨萤况