1、1(2021吉林长春调研)对于非空实数集A，记A*y|xA，yx设非空实数集合M，P满足：MP，且若x1，则xP.现给出以下命题：对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有P*M*；对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有M*P；对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有MP*；对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必存在常数a，使得对任意的bM*，恒有abP*，其中正确的命题是()ABC D解析：选C.对于，假设MP，则M*，则M*P，因此错误；对于，假设MP，则M，又P*，则MP*，因此也错误；而和都是正确的2(2021贵州省六校联考)给出定义：若x(其中m为整数)，则m叫做与实数x“亲
2、热的整数”，记作xm，在此基础上给出下列关于函数f(x)|xx|的四个命题：函数yf(x)在x(0，1)上是增函数；函数yf(x)的图象关于直线x(kZ)对称；函数yf(x)是周期函数，最小正周期为1；当x(0，2时，函数g(x)f(x)ln x有两个零点其中正确命题的序号是()A BC D解析：选A. 由函数定义可知当x时，f(x)|xx|x0|；当x时，f(x)|xx|x1|；当x时，f(x)|xx|x2|；.可以作出函数的图象(如图)，依据函数的图象可以推断错误，是正确的，由函数的图象再作出函数yln x，x(0，2的图象，可推断有两个交点，故也正确3若有穷数列a1，a2，an(n是正整
3、数)满足a1an，a2an1，ana1，即aiani1(i是正整数，且1in)，就称该数列为“对称数列”已知数列bn是项数为7的“对称数列”，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b12，b411，则bn的项为_解析：设数列b1，b2，b3，b4的公差为d，则b4b13d23d11，解得d3，所以数列bn的项为2，5，8，11，8，5，2.答案：2，5，8，11，8，5，24(2021海淀区其次学期期中练习)已知向量序列：a1，a2，a3，an，满足如下条件：|a1|4|d|2，2a1d1且anan1d(n2，3，4，)若a1ak0，则k_；|a1|，|a2|，|a3|，|an|，中第_项最小解
4、析：由于anan1d，所以a2a1d，a3a2d，anan1d，利用叠加法可得ana1(n1)d.由于a1ak0，所以a1a1(k1)d0，a(k1)a1d0，即4(k1)0，k9.又aa(n1)2d22(n1)a1d(n1)4(n3)23，所以当n3时，a取最小值，即|an|取最小值答案：935(2021海淀区其次学期期中练习)在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n)：A1，A2，A3，An与B(n)：B1，B2，B3，Bn，其中n3，若同时满足：两点列的起点和终点分别相同；线段AiAi1BiBi1，其中i1，2，3，n1，则称A(n)
5、与B(n)互为正交点列(1)求A(3)：A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交点列B(3)；(2)推断A(4)：A1(0，0)，A2(3，1)，A3(6，0)，A4(9，1)是否存在正交点列B(4)？并说明理由；(3)n5，nN，是否都存在无正交点列的有序整点列A(n)？并证明你的结论解：(1)设点列A1(0，2)，A2(3，0)，A3(5，2)的正交点列是B1，B2，B3，由正交点列的定义可知B1(0，2)，B3(5，2)，设B2(x，y)，由(3，2)，(2，2)，(x，y2)，(5x，2y)，由正交点列的定义可知0，0，即，解得，所以点列A1(0，2)，A2(3，0)，A3
6、(5，2)的正交点列是B1(0，2)，B2(2，5)，B3(5，2)(2)由题可得(3，1)，(3，1)，(3，1)，设点列B1，B2，B3，B4是点列A1，A2，A3，A4的正交点列，则可设1(1，3)，2(1，3)，3(1，3)，1，2，3Z，由于A1与B1，A4与B4相同，所以有1239，3132331，由于1，2，3Z，方程明显不成立，所以有序整点列A1(0，0)，A2(3，1)，A3(6，0)，A4(9，1)不存在正交点列(3)n5，nN，都存在整点列A(n)无正交点列n5，nN，设(ai，bi)，其中ai，bi是一对互质整数，i1，2，3，n1，若有序整点列B1，B2，B3，Bn是
7、点列A1，A2，A3，An的正交点列，则i(bi，ai)，i1，2，3，n1，则有当n为偶数时，取A1(0，0)，ai3，bi，i1，2，3，n1.由于B1，B2，B3，Bn是整点列，所以有iZ，i1，2，3，n1.等式(*)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，An无正交点列；当n为奇数时，取A1(0，0)，a13，b12，ai3，bi，i2，3，n1，由于B1，B2，B3，Bn是整点列，所以有iZ，i1，2，3，n1.等式(*)中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列A1，A2，A3，An无正交点列综上所述，n5，nN，都存在无正交点列的有序整点列A(n).
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