2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第九章第3课时.docx

[基础达标]
1．(2021·高考大纲全国卷)(x＋2)8的开放式中x6的系数是(　　)
A．28 B．56
C．112 D．224
解析：选C．该二项开放式的通项为Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令r＝2，得T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系数是112.
2．(2022·江西南昌模拟)(＋)5开放式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致外形为(　　)

解析：选D．由题意得C()5－2()2＝10，故xy＝1，x>0，y>0，得y＝，x>0.
3．(2021·高考辽宁卷)使(3x＋)n(n∈N＋)的开放式中含有常数项的最小的n为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选B．Tr＋1＝C(3x)n－r()r＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
4．(1＋ax＋by)n开放式不含x的项的系数确定值的和为243，不含y的项的系数确定值的和为32，则a，b，n的值可能为(　　)
A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝5
C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5
解析：选D．令x＝0，y＝1，则(1＋b)n＝243＝35，
令y＝0，x＝1，则(1＋a)n＝32＝25，
则可取a＝1，b＝2，n＝5.
5．二项式(1－x)4n＋1(n∈N)的开放式中，系数最大的项为(　　)
A．第(2n＋1)或(2n＋2)项
B．第(2n＋1)项
C．第(2n＋2)项
D．第2n或(2n＋1)项
解析：选B．开放式中共有(4n＋2)项，其中第(2n＋1)项与第(2n＋2)项的系数确定值相等，但第(2n＋1)项的系数为正，而第(2n＋2)项的系数为负，故第(2n＋1)项的系数最大．
6．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的开放式中，x8的系数小于120，则k＝________．
解析：由Tr＋1＝C(kx2)6－r＝k6－rCx2(6－r)，得x8的系数为k4C＝15k4，由15k4<120得k4<8，由于k为正整数，所以k＝1.
答案：1
7．(2022·四川成都市诊断性检测)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．
解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.
答案：0
8．(2022·浙江省名校联考)二项式(4x－2－x)6(x∈R)开放式中的常数项是________．
解析：∵(4x－2－x)6的开放式的通项为Tr＋1＝C(4x)6－r(－2－x)r＝(－1)rC2(12－3r)x，若Tr＋1为常数项，则r＝4，T5＝15.
答案：15
9．若(3x＋)n的开放式中各项系数和为1 024，试确定开放式中含x的整数次幂的项．
解：令x＝1，则22n＝1 024，解得n＝5.
Tr＋1＝C(3x)5－r()r＝C·35－r·x，
含x的整数次幂，即使为整数，
r＝0、r＝2、r＝4，有3项，
即T1＝243x5，T3＝270x2，T5＝15x－1.
10．已知(a2＋1)n开放式中各项系数之和等于的开放式的常数项，而(a2＋1)n开放式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．
解：由，得
Tr＋1＝C＝·C·x.
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
∴r＝4，∴常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n开放式的各项系数之和等于2n.
由题意得2n＝16，∴n＝4.
由二项式系数的性质知，(a2＋1)4开放式中二项式系数最大的项是中间项T3，
∴Ca4＝54，∴a＝±.
[力气提升]
1．(2022·天津河西质检)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10 ，则a8＝(　　)
A．－180 B．180
C．45 D．－45
解析：选B．由于(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C22(－1)8＝180.
2．(2022·山东枣庄模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的开放式中，其次项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(　　)
A．(－∞，) B．[，＋∞)
C．(－∞，－] D．(1，＋∞)
解析：选D．二项式(x＋y)9的开放式的通项是
Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意，有，
由此得，
解之得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．
3．(2022·河南省洛阳市统考)(2x＋)n的开放式中各项系数之和为729，则该开放式中x2的系数为________．
解析：依题意得3n＝729，n＝6，二项式(2x＋)6的开放式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·()r＝C·26－r·x6－.令6－＝2，得r＝3.因此，在该二项式的开放式中x2的系数是C·26－3＝160.
答案：160
4．9192除以100的余数是________．
解析：9192＝(90＋1)92
＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C
＝M×102＋92×90＋1(M为整数)＝100M＋82×100＋81.
∴9192除以100的余数是81.
答案：81
5．已知(＋)n的开放式中，前三项系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求第三项的二项式系数及项的系数；
(3)求含x项的系数．
解析：(1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．
∴2·C＝1＋C，即n2－9n＋8＝0.
∴n＝8或n＝1(舍)．
(2)由n＝8知其通项公式Tr＋1＝C·()8－r·()r＝()r·C·x4－r，r＝0，1，…，8.
∴第三项的二项式系数为C＝28.
第三项系数为()2·C＝7.
(3)令4－r＝1，得r＝4，
∴含x项的系数为()4·C＝.
6．(选做题)(上海交通高校自主招生考试)某二项开放式中，相邻a项的二项式系数之比为1∶2∶3∶…∶a，求二项式的次数及a的值．
解：设该二项式为(m＋t)n，其二项式系数为C(r＝0，1，2，…，n)．
不妨设C∶C∶C∶…∶C＝1∶2∶3∶…∶a，
由C∶C＝1∶2得n＝3r＋2；
由C∶C＝1∶3得＝.
将n＝3r＋2代入上式，得r＝4，进而n＝14，
故有C∶C∶…∶C＝1∶2∶3∶…∶A．
从而C∶C＝(a－1)∶a，解得a＝2或a＝3.
事实上，当a＝2时，C∶C＝1∶2；
当a＝3时，C∶C∶C＝1∶2∶3.