2021高考数学(人教通用-理科)查漏补缺专题练：3三角函数与平面向量.docx

1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，留意：相等的角的终边肯定相同，终边相同的角不肯定相等．
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝＞0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝，(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．
[回扣问题1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为______．
答案　－
2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限

－α
π－α
π＋α
2π－α
－α
正弦
－sin α
sin α
－sin α
－sin α
cos α
余弦
cos α
－cos α
－cos α
cos α
sin α
[回扣问题2]　cos＋tan＋sin 21π的值为______．
答案　－
3．三角函数的图象与性质
(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点)；
(2)对称轴：y＝sin x，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cos x，x＝kπ，k∈Z；对称中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cos x，，k∈Z，y＝tan x，，k∈Z.
(3)单调区间：
y＝sin x的增区间：(k∈Z)，
减区间：(k∈Z)；
y＝cos x的增区间：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，
减区间：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；
y＝tan x的增区间：(k∈Z)．
(4)周期性与奇偶性：
y＝sin x的最小正周期为2π，为奇函数；y＝cos x的最小正周期为2π，为偶函数；y＝tan x的最小正周期为π，为奇函数．
[回扣问题3]　函数y＝sin的递减区间是________．
答案　(k∈Z)
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β
sin 2α＝2sin αcos α.
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan(α±β)＝.
cos2α＝，sin2α＝，tan 2α＝.
[回扣问题4]　cos(＋x)＝，＜x＜，则＝________.
答案　－
5．在三角恒等变形中，留意常见的拆角、拼角技巧，如：
α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝[(α＋β)＋(α－β)]；
α＋＝(α＋β)－，α＝－.
[回扣问题5]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，则cos＝________.
答案　－
6．解三角形
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．
已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必留意可能有两解，要结合具体状况进行取舍，在△ABC中A＞B⇔sin A＞sin B.
(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理判定三角形的外形．
[回扣问题6]　△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.
答案　2
7．有关三角形的常见结论
(1)面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(2)内切圆半径r＝.
(3)三个等价关系：△ABC中，a，b，c分别为A，B，C对边，则a＞b⇔sin A＞sin B⇔A＞B.
[回扣问题7]　△ABC中，sin A＝，cos B＝，则cos C＝________.
答案　－
8．平面对量的基本概念及线性运算
(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：＋＝；－＝.
(2)向量满足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(3)实数λ与向量a的积是一个向量，记为λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；②λ＞0，λa与a同向；λ＜0，λa与a反向；λ＝0，或a＝0，λa＝0.
(4)平面对量的两个重要定理
①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
②平面对量基本定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
[回扣问题8]　已知a＝(4,2)，与a共线的单位向量为________．
答案　(，)或(－，－)
9．向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为θ，则：
(1)a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a，b同向时，a·b＝|a||b|，特殊地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；当θ为锐角时，a·b＞0，且a，b不同向．
a·b＞0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b＜0，且a，b不反向；a·b＜0是θ为钝角的必要非充分条件；
(3)|a·b|≤|a||b|.
[回扣问题9]　已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，假如a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案　∪∪
10．向量b在a方向上的投影|b|cos θ＝.
[回扣问题10]　已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．
答案　
11．几个向量常用结论：
①＋＋＝0⇔P为△ABC的重心；
②·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心；
③向量λ(＋)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心；
④||＝||＝||⇔P为△ABC的外心．
[回扣问题11]　若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的外形为______．
答案　直角三角形