2021高考数学(文理通用)一轮课时作业11-函数与方程.docx

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课时提升作业(十一)
函数与方程
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·温州模拟)设f(x)=ex+x-4,则函数f(x)的零点位于区间(　　)
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
【解析】选C.由已知得函数定义域为R,
f(-1)=e-1-1-4=1e-5<0,
f(0)=e0-4=-3<0,
f(1)=e+1-4=e-3<0,
f(2)=e2+2-4=e2-2>0,
所以f(1)f(2)<0,所以零点在(1,2)上.
2.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系
是(　　)
A.x1x2
C.x1=x2 D.不能确定
【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图象如图所示,由图象知x10,若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拨】利用解方程法,解方程|f(x)|1求解.
【解析】选D.由y=|f(x)|-1=0,得|f(x)|=1,若x>0,则|f(x)|=|lnx|=1,所以lnx=1或lnx=-1,解得x=e或x=1e.若x≤0,则|f(x)|=|kx+2|=1,所以kx+2=1或kx+2=-1,解得x=-1k<0或x=-3k<0成立,所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
4.(2022·宁波模拟)设函数f(x)=log3x+2x-a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,log32) B.(0,log32)
C.(log32,1) D.(1,log34)
【解析】选C.由条件知f(1)f(2)<0.
即(1-a)(log32-a)<0,即(a-1)(a-log32)<0,
解得:log321,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,函数g(x)=logax+x4的零点为n,则1m+1n的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
【思路点拨】在同一坐标系中分别作出三个函数y=ax,y=logax和y=4-x的图象,数形结合求得m+n的值,再求解.
【解析】选A.在同一坐标系中作出三个函数y=ax,y=logax,y=4-x的图象如图,由于函数f(x)=ax+x-4的零点为m,则f(m)=am+m-4=0,化为am=4-m,所以函数f(x)的零点m就是函数y=ax,y=4-x交点的横坐标.同理函数g(x)的零点n就是y=logax,y=4-x交点的横坐标.求得直线y=4-x,y=x的交点为(2,2),由于函数y=ax,y=logax的图象关于y=x对称,则m+n2=2,即m+n=4,所以m+n=4≥2mn,mn≤4,1m+1n=m+nmn=4mn≥44=1.

7.(2022·绍兴模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=a,a≤b,b,a>b.设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围
是(　　)
A.(-∞,-1)∪-34,0 B.-1,-34
C.-1,-34 　 D.(-∞,-1)∪-34,0
【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-12≤x≤1,
所以f(x)=
x2-1,-12≤x≤1,x-x2,x<-12或x>1,
函数f(x)的图象如图所示,
由图象知,当c<-1或-340),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=(　　)
A.-12 B.-8 C.-4 D.4
【思路点拨】依据函数f(x)的性质,作出其在[-8,8]上的图象,数形结合求解.
【解析】选B.由于f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(2-x)=f(2+x),所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,f(x)在区间[-8,8]上的大致图象如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1x≤0,log2x,x>0,函数y=f(x)-1的零点个数为　　　　.
【解析】若x≤0,由f(x)=1得2x=1,所以x=0.若x>0,由f(x)=1得log2x=1,所以x=2.所以函数的零点有2个.
答案:2
10.(2022·金华模拟)函数f(x)=cosx-log8x的零点个数为　　　　.
【解析】由f(x)=0得cosx=log8x,设y=cosx,y=log8x,作出函数y=cosx,y=log8x的图象,由图象可知,函数的零点个数为3.

答案:3
【方法技巧】推断函数零点个数的技巧
由所给函数f(x),令f(x)=0,若方程可解,则一般用解方程法;若方程f(x)=0不行解,则常转化为两生疏的函数的图象交点问题求解.
11.(2022·厦门模拟)对于函数f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题:
①q=0时,f(x)为奇函数;
②y=f(x)的图象关于(0,q)对称;
③p=0,q>0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根;
④方程f(x)=0至多有两个实数根;
其中正确命题的序号为　　　　.
【解析】若q=0,则f(x)=x|x|+px=x(|x|+p),为奇函数,所以①正确.由①知,当q=0时,为奇函数图象关于原点对称,f(x)=x|x|+px+q的图象由函数f(x)=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位,所以图象关于(0q)对称,所以②正确.当p=0,q>0时,f(x)=x|x|+q=x2+q,x≥0,-x2+q,x<0,当f(x)=0,得x=-q,只有一解,所以③正确.取q=0,p=-1,f(x)=x|x|-x=x2-x,x≥0,-x2-x,x<0,由f(x)=0,可得x=0,x=±1有三个实根,所以④不正确,综上正确命题的序号为①②③.
答案:①②③
12.(力气挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数为　　　　.
【思路点拨】依据周期性画函数f(x)的图象,依据对称性画函数g(x)的图象,留意定义域.
【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.

答案:8
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.(2022·长春模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式.
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.
【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).
由于y=f(x)是奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2x)]=-x2-2x,
所以f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0.
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;
当x∈(-∞,0)时,
f(x)=-x2-2x
=1-(x+1)2,最大值为1.
所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),依据图象得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).
14.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)推断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出推断过程.
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及0,12内各有一个零点,求实数a的范围.
【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,
由于Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,
从而f(x)=1必有实数根.
(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及0,12内各有一个零点,
只需f(-1)>0,f(0)<0,f12>0,
即3-4a>0,1-2a<0,34-a>0,解得12函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点.
(2)若对x1,x2∈R,且x1b>c,所以a>0,c<0,即ac<0.
又由于Δ=b2-4ac≥-4ac>0,所以方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,所以函数f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-12[f(x1)+f(x2)],则g(x1)=f(x1)-12[f(x1)+fx2)]=f(x1)-f(x2)2,
g(x2)=f(x2)-12[f(x1)+f(x2)]
=f(x2)-f(x1)2,
所以g(x1)·g(x2)=f(x1)-f(x2)2·f(x2)-f(x1)2
=-14[f(x1)-f(x2)]2.
由于f(x1)≠f(x2),所以g(x1)·g(x2)<0.
所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
即f(x)=12[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根.
【加固训练】关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解,求实数m的取值范围.
【解析】设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2],
①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解,
由于f(0)=1>0,则应用f(2)<0,
又由于f(2)=22+(m-1)×2+1,
所以m<-32.
②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,
则Δ≥0,0<-m-12<2,f(2)≥0,
所以(m-1)2-4≥0,-3