2021高考数学(人教版)一轮复习学案19-三角函数的图象与性质.docx

学案19　三角函数的图象与性质
导学目标： 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．

自主梳理
1．三角函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性
在______________________上增，在_____________________________上减
在__________________________上增，在______________________________上减
在定义域的每一个区间________________________________内是增函数
2.正弦函数y＝sin x
当x＝____________________________________时，取最大值1；
当x＝____________________________________时，取最小值－1.
3．余弦函数y＝cos x
当x＝__________________________时，取最大值1；
当x＝______时，取最小值－1.
4．y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x的对称中心分别为____________、___________、______________.
5．y＝sin x、y＝cos x的对称轴分别为______________和____________，y＝tan x没有对称轴．
自我检测
1．(2010·十堰月考)函数y＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为 (　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数y＝sin图象的对称轴方程可能是 (　　)
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
3．(2010·湖北)函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为 (　　)
A. B．π C．2π D．4π
4．(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x的最小正周期为 (　　)
A．4π B．3π C．2π D．π
5．假如函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为 (　　)
A. B. C. D.

探究点一　求三角函数的定义域
例1　(2011·衡水月考)求函数y＝＋的定义域．

变式迁移1　函数y＝＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________．
探究点二　三角函数的单调性
例2　求函数y＝2sin的单调区间．

变式迁移2　(2011·南平月考)(1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求函数y＝3tan的周期及单调区间．

探究点三　三角函数的值域与最值
例3　已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．

变式迁移3　设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋)的周期．

转化与化归思想的应用
例　(12分)求下列函数的值域：
(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2；
(2)y＝3cos x－sin x，x∈[0，]；
(3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x.
【答题模板】
解　(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x
＝2(cos x＋)2－，cos x∈[－1,1]．
当cos x＝1时，ymax＝4，
当cos x＝－时，ymin＝－，故函数值域为[－，4]．[4分]
(2)y＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)
∵x∈[0，]，∴≤x＋≤，
∵y＝cos x在[，]上单调递减，
∴－≤cos(x＋)≤
∴－≤y≤3，故函数值域为[－，3]．[8分]
(3)令t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝，且|t|≤.
∴y＝t＋＝(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；
当t＝时，ymax＝＋.
∴函数值域为[－1，＋]．[12分]
【突破思维障碍】
1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形
如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函数，可借助挂念角公式，将函数化为y＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．
2．关于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．
提示：不论用什么方法，切忌忽视函数的定义域．

1．娴熟把握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是争辩三角问题的基础，三角函数的定义域是争辩其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简洁的三角不等式(组)．
2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x的单调区间来求．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·黄山月考)已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的值不行能是 (　　)
A. B. C．π D.
2．(2010·安徽6校高三联考)已知函数y＝tan ωx (ω>0)与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝sin ωx－cos ωx的单调增区间是 (　　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
3．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是 (　　)
A．0 B．1 C．－1 D.
4．函数y＝－xcos x的部分图象是图中 (　　)

5．(2011·三明模拟)若函数y＝sin x＋f(x)在[－，]上单调递增，则函数f(x)可以是(　　)
A．1 B．cos x
C．sin x D．－cos x
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是________．
7．函数f(x)＝2sin 对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________．
8．(2010·江苏)定义在区间上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·厦门月考)已知函数f(x)＝，求它的定义域和值域，并推断它的奇偶性．

10．(12分)(2010·福建改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)＋a(ω>0)与g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈[0，]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．

11．(14分)(2010·安徽合肥高三二模)已知向量a＝(sin x，2sin x)，b＝(2cos x，sin x)，定义f(x)＝a·b－.
(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋θ) (0<θ<)为偶函数，求θ的值．

答案 自主梳理
1．R　R　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　[－1,1]　[－1,1]　R　2π　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)　[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
2．2kπ＋(k∈Z)　2kπ－(k∈Z)　3.2kπ(k∈Z)　2kπ＋π(k∈Z)　4.(kπ，0)(k∈Z)　(k∈Z)　(k∈Z)　5.x＝kπ＋(k∈Z)　x＝kπ(k∈Z)
自我检测
1．C　2.D　3.D　4.D　5.A
课堂活动区
例1　解题导引　求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，经常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．
解　要使函数有意义，
则
得
所以函数的定义域为
.
变式迁移1　，k∈Z
解析　由题意得
⇒，
解得，
即x∈，k∈Z.
例2　解题导引　求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
解　y＝2sin可看作是由y＝2sin u与u＝－x复合而成的．
又∵u＝－x为减函数，
∴由2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)，
得－2kπ－≤x≤－2kπ＋ (k∈Z)，
即(k∈Z)为
y＝2sin的递减区间．
由2kπ＋≤u≤2kπ＋ (k∈Z)，
即2kπ＋≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)，
得－2kπ－≤x≤－2kπ－ (k∈Z)，
即(k∈Z)为
y＝2sin的递增区间．
综上可知，y＝2sin的递增区间为
(k∈Z)；
递减区间为 (k∈Z)．
变式迁移2　解　(1)由y＝sin，
得y＝－sin，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
∴－π≤x≤－π，－≤x≤π，π≤x≤π.
∴函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间为，，.
(2)函数y＝3tan的周期
T＝＝4π.
由y＝3tan
得y＝－3tan，
由－＋kπ<－<＋kπ得
－π＋4kπ题．
解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin(2x－)≤1，
若a>0，则，解得；
若a<0，则，
解得.
综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12
或a＝－12＋6，b＝19－12.
变式迁移3　解　∵x∈R，
∴cos x∈[－1,1]，
若a>0，则，解得；
若a<0，则，解得.
所以g(x)＝－sin(2x＋)或g(x)＝－sin(－2x＋)，周期为π.
课后练习区
1．A　[画出函数y＝sin x的草图(图略)，分析知b－a的取值范围为[，]，故选A.]
2．B　[由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，
故f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝2sin的单调增区间满足：
2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)
解得2kπ－≤x≤2kπ＋.]
3．A
4．D
5．D　[由于y＝sin x－cos x＝sin(x－)，－≤x－≤，即－≤x≤，满足题意，所以函数f(x)可以是－cos x．]
6.
解析　依题意得＝，所以最小正周期T＝.
7．4π
解析　由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，而当＝2kπ－，即x＝8kπ－2π (k∈Z)时，f(x)取最小值；而＝2kπ＋，即x＝8kπ＋2π (k∈Z)时，f(x)取最大值，
∴|x1－x2|的最小值为4π.

8.
解析　线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x＝5tan x，x∈，解得sin x＝.所以线段P1P2的长为.
9．解　由题意知cos 2x≠0，得2x≠kπ＋，
解得x≠＋ (k∈Z)．
∴f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}．
……………………………………………………………………………………………(3分)
又f(x)＝
＝
＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(6分)
又∵定义域关于原点对称，
∴f(x)是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)

明显－sin2x∈[－1,0]，
又∵x≠＋，k∈Z，
∴－sin2x≠－.
∴原函数的值域为
.……………………………………………………………(12分)
10．解　(1)∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，
∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋)＋a(3分)
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.…………………………………………………………(4分)
(2)当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递减，
故函数f(x)的单调递减区间为
[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．…………………………………………………………………(8分)
(3)当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，…………………………………………………(10分)
∴2sin(2·＋)＋a＝－2，
∴a＝－1.………………………………………………………………………………(12分)
11．解　f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋2·－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.………………………………………………………(4分)
(1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得单调递减区间是，k∈Z.
……………………………………………………………………………………………(8分)
(2)f(x＋θ)＝2sin.
依据三角函数图象性质可知，
y＝f(x＋θ) 在x＝0处取最值，
∴sin＝±1，
∴2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z.……………………………………………………(12分)
又0<θ<，解得θ＝.…………………………………………………………………(14分)

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