1、
双基限时练(十四)
1．质点做直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在第2秒内所走的路程为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
解析 由定积分的物理意义知
S＝(3t2－2t＋3)dt＝(t3－t2＋3t)
＝(8－4＋6)－(1－1＋3)＝7.
答案 D
2．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在其次秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(t为常数)，则电视塔高为( )
A.g B.g
C.g D．2g
解析 依题意得电视塔的高度为
h＝vdt＝gtdt＝gt2
＝2g－g＝g.
答案 C
3．做直线运
2、动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
解析 W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx
＝(x＋ex)＝1＋e－1＝e.
答案 B
4．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4处(单位：m)，则力F(x)做的功为( )
A．44 J B．46 J
C．40 J D．60 J
解析 W＝F(x)dx
＝10dx＋(3x＋4)dx
＝10x＋(x2＋4x)
＝20＋40－14＝4
3、6(J)．
答案 B
5．在弹性限度内，弹簧每拉长1 cm 要用5 N的拉力，要把弹簧拉长20 cm，则拉力做的功为 ( )
A．0.1 J B．0.5 J
C．5 J D．10 J
解析 设弹簧所受的拉力F(x)＝kx，由题意知，弹簧受5 N的拉力伸长量为1 cm，得5＝k×0.01，k＝500.
∴F(x)＝500x.因此，W＝∫500xdx＝250x2＝10(J)．
答案 D
6．一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋2
4、5ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
解析 令7－3t＋＝0，解得t＝4或t＝－<0，舍去．则dt＝[7t－t2＋25ln(1＋t)]＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.
答案 C
7．已知质点的速度v＝10t，则从t＝t1到t＝t2质点的平均速度为________．
解析 由s＝10tdt＝5t2t2t1＝5(t－t)，得平均速度为＝＝5(t1＋t2)．
答案 5(t1＋t2)
8．假如1 N力能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为__________．
解析 设F(x)＝kx，当F＝1 N，x＝0.01 m时，k
5、＝100，
∴W＝∫100xdx＝50x2＝0.18(J)．
答案 0.18 J
9．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t时刻的速度为v＝40－10t(单位：m/s)，将物体的高度h表示为时间t的函数式为________________(记t＝0时高度为0)．
解析 ∵h(0)＝0，∴h(t)－h(0)＝(40－10t)dt＝(40t－5t2)＝40t－5t2.∴物体的高度h表示为时间t的函数式为h(t)＝40t－5t2.
答案 h(t)＝40t－5t2
10．一物体以v(t)＝t2－3t＋8(m/s)的速度运动，求其在前30秒内的平均速度．
解 由定积分的物理意义有
s＝
6、∫(t2－3t＋8)dt＝(t3－t2＋8t)＝7890(m)．
∴＝＝＝263(m/s)．
11．模型火箭自静止开头垂直向上放射，设启动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足a(t)＝100－4t2，求火箭前5 s内的位移．
解 由题设知t＝t0＝0，v(0)＝0，s(0)＝0，
∴v(t)＝(100－4t2)dt＝100t－t3.
∴s(5)＝v(t)dt＝(100t－t3)dt＝(50t2－
t4)＝.
即火箭前5秒的位移是.
12．物体A以速度v＝3t2＋1在始终线上运动，在此直线上与物体动身的同时，物体B在物体A的正前方5 m处正以v＝10t的速度与A同向运动，问
7、两物体何时相遇？相遇时，物体A走过的路程是多少？(时间单位：s，速度单位：m/s)
解 设A追上B时，所用时间为t0，依题意得SA＝SB＋5，即
∫t00(3t2＋1)dt＝∫t0010tdt＋5，
∴t＋t0＝5t＋5，
即t0(t＋1)＝5(t＋1)，
∴t0＝5(s)．
∴SA＝5t＋5＝130(m)．
13．在底面积为S的圆柱形容器中盛有肯定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．
解 力F对物体所做的功为W＝F·s，求出变力F的表达式是本题中求功的关键：
由物理学学问易得压强P与体积V的乘积是常数k，即PV＝k，又∵V＝x·S(x指活塞与底的距离)，
∴P＝＝.
∴作用在活塞上的力F＝P·S＝·S＝.
∴气体压力所做的功为
W＝dx＝k·lnx＝kln.
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