福建省德化一中2021届高三年第三次月考数学(理)试卷-Word版含答案.docx

2022年秋德化一中高三年第三次月考试卷
考试科目：理科数学 满分：150分，考试时间：120分钟
命题者： 徐高挺　审核者：陈修周
第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．
1．在复平面上，复数的对应点所在象限是【★★】．
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为【★★】．
A. 　 B. C. 　 　　 D.
3. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是【★★】．

A.2 B. C. D.3
4.若△ABC的顶点,BC边所在的直线方程为，则与BC边平行的△ABC中位线所在直线方程为【★★】．
A. B.
C. 或 D.中位线长度不确定，无法求解
5.能使两个不重合的平面和平面平行的一个充分条件是【★★】．
A．存在直线a与上述两平面所成的角相等
B. 存在平面与上述两平面所成的二面角相等
C．存在直线a满足：a∥平面,且a∥平面
D. 存在平面满足：平面∥平面,且平面∥平面
6.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为【★★】．
A. B. C. D.
7．已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，，则等于 【★★】．
A． B． C． D．
8．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且，若，则的值等于【★★】．
A． B． C．1 D．
9.已知双曲线C:的左、右焦点分别是M、N.正三角形AMN的一边AN与双曲线右支交于点B，且,则双曲线C的离心率为【★★】．
A. B. C. D.
10．设函数、的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数.设，为在上的一个延拓函数，且是奇函数.给出以下命题：
①当时，； ②函数有3个零点；
③的解集为； ④，都有。
其中正确的命题是【★★】．
A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②③

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11.命题“对顶角相等”的逆命题是★★★★.
12. 等差数列的前n项和为,, ,当取最小值时,n等于★★★★.
13．若向量，且与垂直，则的值等于★★★★.
14.已知是其次象限角，且，则★★★★.
15.在平面直角坐标系中，假如x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是★★★★. (写出全部正确命题的编号)
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点；
②假如k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知在等比数列中，，且是和的等差中项，
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足,求的前n项和.

17．（本小题满分13分）
已知的为锐角，且三边成等比数列，，．
（I）求；
（II）求的面积．

18．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，
∠BCA=450，.
（I）证明丄；
（II）求二面角的余弦值；
（III）棱上是否存在点E，使得平面PCD丄平面BCE，若存在，试确定点E的位置，若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分13分）
如图所示，某小区为美化环境，预备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD是函数的一部分，后一段DBC是函数时的图象，图象的最高点为，垂足为F．
（I）求函数的解析式；
（II）若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，儿童乐园的面积最大？

20．（本小题满分14分）
如图所示，已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点A(1，)．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x＝4上任意一点，且T不在x轴上，
(ⅰ)求·的取值范围；
(ⅱ)若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）.

21．（本小题满分14分）
已知函数(R)，曲线在点处的切线方程为.
（I）求实数a的值，并求的单调区间；
（II）试比较与的大小，并说明理由；
（III）是否存在k∈Z，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.

2022年秋德化一中高三年第三次月考参考答案及评分标准
考试科目：理科数学 满分：150分，考试时间：120分钟
命题者： 徐高挺　审核者：陈修周
第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．
1．在复平面上，复数的对应点所在象限是【C】．
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为【C】．
A. 　 B. C. 　 　　 D.
3. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是【D】．
A.2 B. C. D.3
4.若△ABC的顶点,BC边所在的直线方程为，则与BC边平行的△ABC中位线所在直线方程为【A】．
A. B.
C. 或 D.中位线长度不确定，无法求解
5.能使两个不重合的平面和平面平行的一个充分条件是【D】．
A．存在直线a与上述两平面所成的角相等
B. 存在平面与上述两平面所成的二面角相等
C．存在直线a满足：a∥平面,且a∥平面
D. 存在平面满足：平面∥平面,且平面∥平面
6.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为【B】．
A. B. C. D.
7．已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，，则等于 【A】．
A． B． C． D．
8．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且，若，则的值等于【B】．
A． B． C．1 D．
9.已知双曲线C:的左、右焦点分别是M、N.正三角形AMN的一边AN与双曲线右支交于点B，且,则双曲线C的离心率为【B】．
A. B. C. D.
10．设函数、的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数.设，为在上的一个延拓函数，且是奇函数.给出以下命题：
①当时，； ②函数有3个零点；
③的解集为； ④，都有。
其中正确的命题是【C】．
A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②③

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11.命题“对顶角相等”的逆命题是假如两个角相等，那么它们是对顶角.
12. 等差数列的前n项和为,, ,当取最小值时,n等于.
13．若向量，且与垂直，则的值等于.
14.已知是其次象限角，且，则.
15.在平面直角坐标系中，假如x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是①③⑤. (写出全部正确命题的编号)
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点；
②假如k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知在等比数列中，，且是和的等差中项，
（I）求数列的通项公式；
（II）若数列满足,求的前n项和.
解：（I）设等比数列的公比为
是和的等差中项
………………………………………………………………………………3分

……………………………………………………………………………6分
（II）…………………………………………………………………7分
.
……………………………………………………10分
…………………………………………………………………………………12分
………………………………………………………………………………………………13分
17．（本小题满分13分）
已知的为锐角，且三边成等比数列，，．
（I）求；
（II）求的面积．
解：（I）由，……………………………………3分
又∵成等比数列，得，
由正弦定理有，………………………………………………………………………5分
∵在中有，∴得，即．……………………………7分
∵为锐角，
∴　．……………………………………………………………………………8分
(Ⅱ)由余弦定理得，
，……………………………………………………………10分
∵　∴，………………………………………………………………………………11分
∴　．……………………………………………………………………………13分
18．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，
∠BCA=450，.
（I）证明丄；
（II）求二面角的余弦值；
（III）棱上是否存在点E，使得平面PCD丄平面BCE，若存在，试确定点E的位置，若不存在，请说明理由.
解：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得
A0,0,0),D(2,0,0),C(0,2,0),B(-1,1,0)，P（0,0,2），…………2分
（I）【法一】易得于是，所以PC⊥AD. ………………………………………………………………………………………………4分
【法二】由丄平面，得PA⊥AD，……………………………………1分
又AC⊥AD，且，
所以AD⊥平面PAC，………………………………………………………………………………………3分
又PC平面PAC
故AD⊥PC …………………………………………………………………………………………………4分
（II）设平面PCD的一个法向量
则，即
不妨令，可得…………………………………………………6分
取平面PAC的一个法向量
于是，所以二面角A-PC-D的余弦值为.……………………………………………………8分
（III）设点E的坐标为，…………………………………………………………9分
又B，故
又，设平面EBC的法向量为
则，取……………………………………………………………………11分
若平面PDC丄平面BCE，则，即，
满足条件的a值不存在，故没有满足条件的点E…………………………………………………………13分
19．（本小题满分13分）
如图所示，某小区为美化环境，预备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD是函数的一部分，后一段DBC是函数时的图象，图象的最高点为，垂足为F．
（I）求函数的解析式；
（II）若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，儿童乐园的面积最大？

20．（本小题满分14分）
如图所示，已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点A(1，)．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x＝4上任意一点，且T不在x轴上，
(ⅰ)求·的取值范围；
(ⅱ)若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）.
解：（I）设椭圆C的方程为，则
解得，所以椭圆. 4分
（II）(ⅰ)易得， 5分
①若直线斜率不存在，则，此时，，＝； 6分
②若直线斜率存在，设，，则
由消去得： 7分
∴， 8分
∴＝ 9分
∵ ∴ ∴ ∴
综上，的取值范围为． 10分
(ⅱ)线段MN的中点为Q，则由(ⅰ)可得，， 11分
所以直线OT的斜率，所以直线OT的方程为：， 12分
从而，此时TF的斜率， 13分
所以，所以TF⊥MN. 14分
21．（本小题满分14分）
已知函数(R)，曲线在点处的切线方程为.
（I）求实数a的值，并求的单调区间；
（II）试比较与的大小，并说明理由；
（III）是否存在k∈Z，使得对任意恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由.
解：（I）依题意，， 1分
所以，又由切线方程可得，即，解得，
此时，， 3分
令，所以，解得；令，所以，解得，
所以的增区间为：，减区间为：. 5分
（II）【法一】由(1)知，函数在上单调递减，所以，即

9分
【法二】，由于

所以，所以. 9分
（III）若对任意恒成立，则，记，只需.
又， 10分
记，则，所以在上单调递减.
又，，
所以存在唯一，使得，即， 11分
当时，的变化状况如下：

＋
0
－

＋
0
－

↗
极大值
↘
12分
所以，又由于，所以，
所以，
由于，所以，所以， 13分
又，所以，
由于，即，且k∈Z，故k的最小整数值为3.
所以存在最小整数，使得对任意恒成立. 14分