2021高考数学(四川专用-理科)二轮专题整合：1-4-2立体几何中的向量方法.docx

第2讲立体几何中的向量方法一、选择题1已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件，则直线AM()A与平面ABC平行 B是平面ABC的斜线C是平面ABC的垂线 D在平面ABC内解析由已知得M，A，B，C四点共面，所以AM在平面ABC内，选D.答案D2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A垂直 B平行 C相交 D不能确定解析分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.又是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案B3(2022新课标全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为 ()A. B.C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故cos，.答案C4(2022四川卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是()A. B.C. D.解析以D为原点，以DA、DC、DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有A(2,0,0)，O(1,1,0)，P(0,2，m)(0m2)，C1(0,2,2)易知面A1DB的一个法向量为(2,2,2)，(1,1，m)，sin ，令2mt，mt2(2t4)，sin ，由二次函数的值域求解方法可知，y的值域为y，sin .故选B.答案B5(2022北京东城区模拟)如图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为()A0 B1C0或1 D任意实数解析可为下列7个向量：，.其中一个与重合，|21；，与垂直，这时0；，与的夹角为45，这时1cos1，最终1cosBAC11，故选C.答案C二、填空题6在始终角坐标系中，已知A(1,6)，B(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为_解析如图为折叠后的图形，其中作ACl于点C，BDl于点D，则AC6，BD8，CD4，两异面直线AC，BD所成的角为60，故由，得|2|268，|2.答案27在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，ABPDa，点E为侧棱PC的中点，又作DFPB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为_解析建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则P(0,0，a)，B(a，a,0)，(a，a，a)，又，00，所以PBDE，由已知DFPB，且DFDED，所以PB平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90.答案908(2022孝感模拟)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在直线BC1上运动时，有下列三个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；二面角PAD1C的大小不变其中真命题的序号是_解析中，BC1平面AD1C，BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确；中，P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确；中，P在直线BC1上运动时，点P在平面AD1C1B中，即二面角PAD1C的大小不受影响，所以正确答案三、解答题9(2022烟台一模)在平行四边形ABCD中，AB6，AD10，BD8，E是线段AD的中点如图所示，沿直线BD将BCD翻折成BCD，使得平面BCD平面ABD.(1)求证：CD平面ABD；(2)求直线BD与平面BEC所成角的正弦值(1)证明平行四边形ABCD中，AB6，AD10，BD8，沿直线BD将BCD翻折成BCD，可知CDCD6，BCBC10，BD8，即BC2CD2BD2CDBD.又平面BCD平面ABD，平面BCD平面ABDBD，CD平面BCD，CD平面ABD.(2)解由(1)知CD平面ABD，且CDBD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0,0,0)，A(8,6,0)，B(8,0,0)，C(0,0,6)E是线段AD的中点，E(4,3,0)，(8,0,0)在平面BEC中，(4,3,0)，(8,0,6)，设平面BEC法向量为n(x，y，z)，即令x3，得y4，z4，故n(3,4,4)设直线BD与平面BEC所成角为，则sin |cos n，|.直线BD与平面BEC所成角的正弦值为.10(2022新课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD体积(1)证明连接BD交AC于点O，连接EO.由于ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.由于EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)证明由于PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，.设B(m,0,0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设知|cosn1，n2|，即，解得m.由于E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为，三棱锥EACD的体积V.11.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长(1)证明如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意，得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，0，P(0,0,2)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以PCAD.(2)解(0,1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量n(x，y，z)，则即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)解设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得.由(2，1,0)，故cos，所以cos 30，解得h，即AE.