1、高三体艺午间小练：解三角形与立体几何（13）1如图，在直三棱柱中，D、E分别是BC和的中点，已知AB=AC=AA1=4，BAC=90.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.2在中，角的对边分别为，且，（1）求角的大小；（2）若，求边的长和的面积.参考答案1（1）见解析 (2) (3)8【解析】试题分析：(1)(2)(3)均可利用坐标法,即分别以建立三维空间坐标系.下面重点分析法2(1)利用勾股定理可以求的线段的长,而要证明面,只需要证明,首先可以三次利用勾股定理把的三条边长求出,再利用勾股定理证明,线段为等腰直角三角形ABC的三线合一即有,可得到面,进而得到,即可通过
2、线线垂直证明面DAE.(2)要求二面角的余弦值,需要作出该二面角的平面角,为此过D做DMAE于点M，连接B1M.,依据第一问有面AED且可以得到面,则即为所求二面角的平面角,即该角的余弦值为.利用勾股定理即可得到的长,进而得到二面角的余弦值.(3)由(1)可得面,则该三棱锥可以以作为底面,高为来求的体积,而AD和三角形的面积都可以用勾股定理求的.试题解析：法1:依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由于4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）. （1分）（1），. （2分）由于，所以，即. （3分）由于，所以，即. （4分）又
3、AD、AE平面AED，且ADAE=A，故平面. （5分）（2）由（1）知为平面AED的一个法向量. （6分）设平面 B1AE的法向量为，由于，所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）， （8分）二面角的余弦值为. （9分）（3）由，得，所以ADDE. （10分）由，得. （11分）由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且， （12分）所以. （13分）法2:依题意得，平面ABC，.（1），D为BC的中点，ADBC. B1B平面ABC，AD平面ABC，ADB1B. BC、B1B平面B1BCC1，且BCB1B=B，所以AD平面B1BCC1.又B1D平面B1BCC1，故B1DAD
4、. （2分）由，得，所以. （4分）又AD、DE平面AED，且ADDE=E，故平面. （5分）（2）过D做DMAE于点M，连接B1M.由B1D平面AED，AE平面AED，得AE B1D.又B1D、DM平面B1DM，且B1DDM=D，故AE平面B1DM.由于B1M平面B1DM，所以B1MAE.故B1MD为二面角B1AED的平面角. （7分）由（1）得，AD平面B1BCC1，又DE平面B1BCC1，所以ADDE.在RtAED中， （8分）在RtB1DM中，所以，即二面角B1AED的余弦值为. （9分）（3）由（1）得，AD平面B1BCC1，所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且. （10分）由（1）得. （11分）故. （13分）考点：勾股定理 坐标法 线面垂直 三棱锥体积2（1），（2），【解析】试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.由于，由正弦定理得：，从而有，又由于大角对大边，而，因此角B为锐角，.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得解得或（舍），再由三角形面积公式得.试题解析：解：（1）由于，所以， 2分由于，所以，所以， 4分由于，且，所以 6分（2）由于，所以由余弦定理得，即，解得或（舍），所以边的长为. 10分 13分考点：正余弦定理
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