1、高三体艺午间小练：解三角形与立体几何（13）
1．如图，在直三棱柱中，D、E分别是BC和的中点，已知AB=AC=AA1=4，ÐBAC=90°.
（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积.
2．在△中，角的对边分别为，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求边的长和△的面积.
参考答案
1．（1）见解析 (2) (3)8
【解析】
试题分析：
(1)(2)(3)均可利用坐标法,即分别以建立三维空间坐标系.下面重点分析法2
(1)利用勾股定理可以求的线段的长,而要证明面,只需要证明,首先可以三
2、次利用勾股定理把的三条边长求出,再利用勾股定理证明,线段为等腰直角三角形ABC的三线合一即有,可得到面,进而得到,即可通过线线垂直证明面DAE.
(2)要求二面角的余弦值,需要作出该二面角的平面角,为此过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.,依据第一问有面AED且可以得到面,则即为所求二面角的平面角,即该角的余弦值为.利用勾股定理即可得到的长,进而得到二面角的余弦值.
(3)由(1)可得面,则该三棱锥可以以作为底面,高为来求的体积,而AD和三角形的面积都可以用勾股定理求的.
试题解析：
法1:依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由于＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，
3、0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）. （1分）
（1），，. （2分）
由于，所以，即. （3分）
由于，所以，即. （4分）
又AD、AEÌ平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面. （5分）
（2）由（1）知为平面AED的一个法向量. （6分）
设平面 B1AE的法向量为，由于，，
所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）
∴， （8分）
∴二面角的余弦值为.
4、 （9分）
（3）由，，得，所以AD⊥DE. （10分）
由，，得. （11分）
由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且， （12分）
所以. （13分）
法2:依题意得，平面ABC，，，
，.
（1）∵，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∵B1B⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥B1B.
BC、B1B平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.
又B1D平面B1BCC1，故B1D⊥AD .
5、 （2分）
由，，，
得，所以. （4分）
又AD、DE平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面. （5分）
（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.
由B1D⊥平面AED，AE平面AED，得AE ⊥B1D.
又B1D、DM平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1DM.
由于B1M平面B1DM，所以B1M⊥AE.
故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角. （7分）
由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，又DE平
6、面B1BCC1，所以AD⊥DE.
在Rt△AED中，， （8分）
在Rt△B1DM中，，
所以，即二面角B1—AE—D的余弦值为. （9分）
（3）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，
所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且. （10分）
由（1）得. （11分）
故. （13分）
考点：勾股定理 坐标法 线面垂直 三棱锥体积
2．（1），（2），
【解析】
试题分析：（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理解决.由于，由
7、正弦定理得：，从而有，又由于大角对大边，而，因此角B为锐角，.（2）已知一角两边，所以由余弦定理得解得或（舍），再由三角形面积公式得.
试题解析：解：（1）由于，
所以， 2分
由于，所以，
所以， 4分
由于，且，所以． 6分
（2）由于，，
所以由余弦定理得，即，
解得或（舍），
所以边的长为. 10分
． 13分
考点：正余弦定理
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