高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-归纳推理与类比推理异同点比较.docx

归纳推理与类比推理异同点比较
合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探究和供应思路的作用．有利于创新意识的培育．在力气高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.
一.归纳推理和类比推理的联系:
归纳推理与类比推理都是依据已有的事实，经过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不愿定正确,其正确性有待进一步证明.
二.归纳推理和类比推理的区分:
(一) 归纳推理
1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
说明：归纳推理的思维过程大致如下：

2.归纳推理的特点:
（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包涵的范围．
(2)由归纳推理得到的结论具有猜想的性质，结论是否真实，还需经过规律证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．
(3)归纳推理是一种具有制造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步争辩的起点，挂念人们发觉问题和提出问题．
归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.
3.归纳推理的一般步骤：
①通过观看个别状况发觉某些相同本质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．
说明：归纳推理基于观看和试验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们依据长期的实践阅历进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在试验和观看的基础上，通过归纳发觉的．
(二).类比推理（以下简称类比）
1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2. 类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相像性或全都性；
②用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：

类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相像点之后，推想在其他方面也可以存在相同或相像之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有制造性. 人类在科学争辩中建立的不少假说和教学中很多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中很多制造和制造也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发觉制造的重要工具.

例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，依据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an= ．

【答案】 an=3n2-3n+1.
【解析】认真观看发觉:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此an=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.
【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是牢靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的生疏功能，对科学的发觉是格外有用的．观看、试验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学争辩的最基本的方法之一.
例2.如图，过四周体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．
求证：为定值．
分析 考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”．这一命题利用相像三角形性质很简洁推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．
证明：如图，设平面OA1 VA∩BC＝M，平面OB1 VB∩AC＝N，平面OC1 VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV．得
=。
在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：
=1。∴=1。
【学问小结】类比推理是依据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比,平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必需清楚类比并不是论证，它可以挂念我们发觉真理．
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．数学争辩中，得到一个新结论之前，合情推理经常能挂念我们猜想和发觉结论；证明一个数学结论之前，合情推理经常能为我们供应证明的思路和方向．