2022届高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库：第6章-第5讲-数列的综合应用-.docx

第5讲 数列的综合应用一、选择题1已知数列an的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n1，Sn1)(nN)的直线的斜率为3n2，则a2a4a5a9的值等于()A52B40C26 D20解析 由题意，知3n2，Sn1Sn3n2，即an13n2.an3n5.因此数列an是等差数列，a510.a2a4a5a92(a3a7)4a540.答案 B2数列an满足a13a232a33n1an，则an()A. B.C. D.解析 令n1，得a1，排解A、D；再令n2，得a2，排解C，故选B.答案 B3在数列an中，a12，an1anln，则an()A2ln n B2(n1)ln nC2n ln n D1nln n解析 a2a1ln，a3a2ln，anan1lnana1ln2ln n.答案 A4某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害为疼惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A5年 B6年 C7年 D8年解析由已知可得第n年的产量anf(n)f(n1)3n2.当n1时也适合，据题意令an150n5，即数列从第8项开头超过150，即这条生产线最多生产7年答案C5在等差数列an中，满足3a47a7，且a10，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n()A7 B8 C9 D10解析设公差为d，由题设3(a13d)7(a16d)，所以da10，即a1(n1)0，所以n0，同理可得n10时，an0.故当n9时，Sn取得最大值答案C6设函数f(x)2xcos x，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5 ()A0 B.2 C.2 D.2解析设g(x)2xsin x，由已知等式得ggg0，则必有a30，即a3(否则若a30，则有20，留意到g(x)是递增的奇函数，g0，ggg，gg0，同理gg0，ggg0，这与“ggg0”相冲突，因此a30不行能；同理a30也不行能)；又an是公差为的等差数列，a12，a1，a5，f(a3)fcos，f(a3)2a1a52，选D.答案D二、填空题7已知a，b，c成等比数列，假如a，x，b和b，y，c都成等差数列，则_.解析赋值法如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x3，y6，2.答案28设an是等比数列，公比q，Sn为an的前n项和记Tn，nN.设Tn0为数列Tn的最大项，则n0_.解析 依据等比数列的前n项和公式Sn，则Tn，令qn()nt，则函数g(t)t，当t4时函数g(t)取得最小值，此时n4，而0，故此时Tn最大，所以n04.答案 49某科研单位欲拿出确定的经费嘉奖科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，其次名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出_万元资金进行嘉奖来源:解析 设第十名到第一名得到的资金分别是a1，a2，a10，则anSn1，a12，又an1Sn11(n2)，故anan1an.an2an1则每人所得资金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S102 046.答案 2 04610数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规律排列：，有如下运算和结论：a24；数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比数列；数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n项和为Tn；若存在正整数k，使Sk10，Sk110，则ak.其中正确的结论有_(将你认为正确的结论序号都填上)解析依题意，将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于.对于，留意到212428，因此数列an中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24，因此正确对于、，设bn为、中的数列的通项，则bn，明显该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于，因此不正确，正确对于，留意到数列的前6组的全部项的和等于10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak，因此正确综上所述，其中正确的结论有.答案三、解答题11已知等差数列an的前n项和为Sn，S535，a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，由于S55a335，a5a726，所以解得a13，d2，所以an32(n1)2n1，Sn3n2n22n.(2)由(1)知an2n1，所以bn，所以Tn1.12已知数列an满足a11，an1.(1)求a2，a3；(2)设bna2n2，nN，求证：数列bn是等比数列，并求其通项公式；(3)已知cnlog|bn|，求证：1.解 (1)由数列an的递推关系易知：a2，a3.(2)证明：bn1a2n22a2n1(2n1)2来源a2n1(2n1)(a2n4n)(2n1)a2n1(a2n2)bn.又b1a22，bn0，即数列bn是公比为，首项为的等比数列，bnn1n.(3)证明：由(2)有cnlog|bn|lognn.(n2)11cn(nN*)(1)解设公差为d，则解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.又a12，d1，所以a34，即b24.所以数列bn的首项为b12，公比q2，所以bn2n，Tn2n12.(2)证明由于Kn221322(n1)2n，故2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，Knn2n1，则1cn0，所以cn1cn(nN*)14某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an(单位：万元，nN)，记第n天的利润率bn，例如b3.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利润率bn；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率解 (1)当n1时，b1；当n2时，b2.(2)当1n25时，a1a2an1an1.bn.当26n60时，bn，第n天的利润率bn(nN)(3)当1n25时，bn是递减数列，此时bn的最大值为b1；来源:Z。xx。k.Com当26n60时，bn.又，n1时，(bn)max.该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为.