2022届高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库：第6章-第5讲-数列的综合应用-.docx

第5讲 数列的综合应用
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N＋)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于(　　)
A．52　　　　　　　　　 B．40
C．26 D．20
解析 由题意，知＝3n－2，
∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2.∴an＝3n－5.
因此数列{an}是等差数列，a5＝10.
∴a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40.
答案 B
2．数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则an＝(　　)
A. B.
C. D.
解析 令n＝1，得a1＝，排解A、D；再令n＝2，得a2＝，排解C，故选B.
答案 B
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋n ln n D．1＋n＋ln n
解析 a2＝a1＋ln，
a3＝a2＋ln，…，
an＝an－1＋ln
⇒an＝a1＋ln＝2＋ln n.
答案 A
4．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为疼惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)．
A．5年 B．6年 C．7年 D．8年
解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150⇒n≥5，即数列从第8项开头超过150，即这条生产线最多生产7年．
答案　C
5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝(　　)．
A．7 B．8 C．9 D．10
解析　设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，
所以d＝－a1<0.
解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，
所以n<，则n≤9，
当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.
故当n＝9时，Sn取得最大值．
答案　C
6．设函数f(x)＝2x－cos x，{an}是公差为的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝ (　　)．
A．0 B.π2 C.π2 D.π2
解析　设g(x)＝2x＋sin x，由已知等式得g＋g＋…＋g＝0，则必有a3－＝0，即a3＝(否则若a3－＞0，则有＋＝＋＝2＞0，留意到g(x)是递增的奇函数，g＞0，g＞g＝－g，g＋g＞0，同理g＋g＞0，g＋g＋…＋g＞0，这与“g＋g＋…＋g＝0”相冲突，因此a3－＞0不行能；同理a3－＜0也不行能)；又{an}是公差为的等差数列，a1＋2×＝，a1＝，a5＝，f(a3)＝f＝π－cos＝π，[f(a3)]2－a1a5＝π2，选D.
答案　D
二、填空题
7．已知a，b，c成等比数列，假如a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________.
解析　赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2.
答案　2
8．设{an}是等比数列，公比q＝，Sn为{an}的前n项和．记Tn＝，n∈N＋.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0＝________.
解析 依据等比数列的前n项和公式Sn＝，
则Tn＝＝＝，令qn＝()n＝t，则函数g(t)＝t＋，当t＝4时函数g(t)取得最小值，此时n＝4，而＝<0，故此时Tn最大，所以n0＝4.
答案 4
9．某科研单位欲拿出确定的经费嘉奖科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，其次名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出________万元资金进行嘉奖．[来源:
解析 设第十名到第一名得到的资金分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn＋1，
∴a1＝2，又an－1＝Sn－1＋1(n≥2)，
故an－an－1＝an.
∴an＝2an－1则每人所得资金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S10＝＝2 046.
答案 2 046
10．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
，，，，，，，，，，…，，，…，，…，有如下运算和结论：
①a24＝；
②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；
③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝；
④若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝.
其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)
解析　依题意，将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组，第n组中的数的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分母均是n＋1，分子由1依次增大到n，第n组中的各数和等于＝.
对于①，留意到21＝<24<＝28，因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数，即a24＝，因此①正确．
对于②、③，设bn为②、③中的数列的通项，则bn＝
＝，明显该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n项和等于×＝，因此②不正确，③正确．
对于④，留意到数列的前6组的全部项的和等于＝10，因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数，即ak＝，因此④正确．
综上所述，其中正确的结论有①③④.
答案　①③④
三、解答题
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由于S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，
所以解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋
＝1－＝.
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝.
(1)求a2，a3；
(2)设bn＝a2n－2，n∈N＋，求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；
(3)已知cn＝log|bn|，求证：＋＋…＋<1.
解 (1)由数列{an}的递推关系易知：
a2＝，a3＝－.
(2)证明：bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋(2n＋1)－2[来源
＝a2n＋1＋(2n－1)＝(a2n－4n)＋(2n－1)
＝a2n－1＝(a2n－2)＝bn.
又b1＝a2－2＝－，∴bn≠0，∴＝，
即数列{bn}是公比为，首项为－的等比数列，
bn＝－n－1＝－n.
(3)证明：由(2)有cn＝log|bn|＝logn＝n.
∵＝－(n≥2)．
∴＋＋…＋

＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.
13．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．
(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝，求证：cn＋1>cn(n∈N*)．
(1)解　设公差为d，则
解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，
所以an＝n＋1，Sn＝.
又a1＝2，d＝1，所以a3＝4，即b2＝4.
所以数列{bn}的首项为b1＝2，公比q＝＝2，
所以bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.
(2)证明　由于Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n， ①
故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ②
①－②得－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，
∴Kn＝n·2n＋1，则cn＝＝.
cn＋1－cn＝－
＝>0，
所以cn＋1>cn(n∈N*)．
14．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an＝(单位：万元，n∈N＋)，记第n天的利润率bn＝，例如b3＝.
(1)求b1，b2的值；
(2)求第n天的利润率bn；
(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．
解 (1)当n＝1时，b1＝；当n＝2时，b2＝.
(2)当1≤n≤25时，a1＝a2＝…＝an－1＝an＝1.
∴bn＝＝＝.
当26≤n≤60时，
bn＝
＝＝，
∴第n天的利润率bn＝(n∈N＋)．
(3)当1≤n≤25时，
bn＝是递减数列，此时bn的最大值为b1＝；[来源:Z。xx。k.Com]
当26≤n≤60时，
bn＝＝≤＝
.
又∵>，∴n＝1时，(bn)max＝.
∴该商店经销此纪念品期间，第1天的利润率最大，且该天的利润率为.