2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第3章-第5课时.docx

[基础达标]
一、选择题
1．函数y＝ 的定义域为(　　)
A.
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．R
解析：选C.∵cos x－≥0，得cos x≥，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
2．函数y＝2cos2－1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：选A.y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.
3．(2022·湖北省黄冈中学高三适应性考试)已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2,1]，则b－a的值不行能是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．π
C. D．2π
解析：选D.值域[－2,1]含最小值不含最大值，故定义域小于一个周期，故选D.
4．(2022·山东聊城期末测试)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
解析：选B.∵ω＞0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
5．(2022·安徽黄山联考)设函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　)
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
解析：选B.f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)
＝2sin，
∵其图象关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数，
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.
又∵|φ|＜，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin＝2cos 2x.
易知f(x)的最小正周期为π，在(0，)上为减函数．
二、填空题
6．函数y＝cos的单调减区间为________．
解析：由y＝cos＝cos得
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．比较大小：sin________sin.
解析：由于y＝sin x在上为增函数且－＞－，故sin＞sin.
答案：＞
8．函数y＝2sin－1，x∈的值域为________，并且取最大值时x的值为________．
解析：∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，
∴0≤sin≤1，
∴－1≤2sin－1≤1，即值域为[－1,1]，且当sin＝1，即x＝时，y取最大值．
答案：[－1,1]　
三、解答题
9．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标．
解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．
(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(2)由sin(2x＋)＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，
即x＝－(k∈Z)．
∴f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(－，0)．
10．(2022·高考湖北卷)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1) 求函数f(x)的最小正周期；
(2) 若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
解：(1)由于f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos2ωx＋sin 2ωx＋λ
＝2sin＋λ.
由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得
sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－.
故f(x)＝2sin－.
由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin≤1，
得－1－≤2sin－≤2－，
故函数f(x)在上的取值范围为
.
[力气提升]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由f＝－2，得f＝－2sin
＝－2sin＝－2，所以sin＝1.由于|φ|＜π，所以φ＝.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
2．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)－sin(ωx＋φ)，且其图象相邻的两条对称轴为x1＝0，x2＝，则(　　)
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数
解析：选B.由已知条件得f(x)＝2cos(ωx＋φ＋)，
由题意得＝，
∴T＝π.
∵T＝，∴ω＝2.
又∵x＝0为f(x)的对称轴，
∴f(0)＝2cos＝2或－2，
又∵|φ|＜，∴φ＝－，
此时f(x)＝2cos 2x，在上为减函数，故选B.
二、填空题
3．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________．
解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，
x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
4．(2022·内蒙古包头质检)给出下列命题：
①函数f(x)＝4cos的一个对称中心为；
②已知函数f(x)＝min{sin x，cos x}，则f(x)的值域为；
③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β.
其中全部真命题的序号是________．
解析：对于①，令x＝－π，则2x＋＝－π＋＝－，有f＝0，因此为f(x)的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f(x)的值域为，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin 390°＝＜sin 60°＝，故③为假命题所以真命题为①②.
答案：①②
三、解答题
5．(2021·高考湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)，g(x)＝2sin2.
(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；
(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．
解：f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)
＝sin x－cos x＋cos x＋sin x
＝sin x，
g(x)＝2sin2＝1－cos x.
(1)由f(α)＝得sin α＝.
又α是第一象限角，所以cos α>0.
从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，
即sin x＋cos x≥1，于是sin(x＋)≥，
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
6．(选做题)(2022·吉林通化模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2 ，x∈R(其中ω＞0)．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2－1
＝2sin－1.
由－1≤sin≤1，
得－3≤2sin－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin－1，
再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数y＝f(x)的单调增区间为(k∈Z)．