《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修2)教师用书：4.3直线和圆的位置关系-讲义.docx

第3课时直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来推断直线与圆的位置关系.重点:利用代数法和几何法推断直线与圆的位置关系;直线与圆相交时求解相交弦的问题.难点:推断直线与圆的位置关系的方法选择.一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的范围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,假如这艘船不转变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课争辩的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种:相交、相切、相离 .推断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式,当判别式0时,直线和圆相交.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr相离.问题2:过确定点是否都存在圆的切线?假如存在,如何求圆的切线方程? (1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.(2)若点在圆上,则过该点的切线只有一条,切线方程求法如下:直接法,先求该点与圆心的连线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最终用点斜式求出切线方程.设元法,先设出切线方程(留意斜率不存在时的争辩),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,特殊地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:x0x+y0y=r2.(3)若点在圆外,则过该点的切线有两条,切线方程求法如下:首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|=|xA-xB|=.问题4:用直线与圆的学问解决实际问题的步骤(1)认真审题,理解题意;(2)引入数学符号,建立数学模型;(3)用直线与圆的学问解决已建立的数学模型;(4)用结果解释实际问题. 北京时间2022年7月28日凌晨,第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦开幕,开幕式艺术总监丹尼博伊尔以“奇迹之岛”为主题,向全世界奉献了一场视觉盛宴,其中让我们难忘的是其次章喧嚣提前铸造的巨型的圆环渐渐飘向空中,发出彩色光线的五环就像是工业革命时代的产物,溅射着火星,渐渐地聚集在一起.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ).A.相交B.相切C.相离D.相切或相交【解析】d=14,直线与圆的位置关系是相交.【答案】A2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为().A. B.3C.D.5【解析】由于过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2-(-1)=3.【答案】B3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值范围是.【解析】依题意有1,解得0k4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.【解析】将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.(法一)过圆心C作CDAB交AB于点D,则依据题意和圆的性质,得即:+2=4.解得a=-7或a=-1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)联立方程组消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.=-16(4a+3)0,即a-,设此方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-,x1x2=.由AB=2=,可求出a=-7或a=-1,所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值为;最小值为.【解析】由于 表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=1,解得k=.所以的最大值为 ,最小值为- .【答案】-1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是().A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【解析】由于圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.【答案】 B2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为().A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0【解析】由于点P在圆C上,kPC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.【答案】D3.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于.【解析】由题设知圆心坐标为(1,0),由于直线与圆相切,所以d=r=,解得m=或-3.【答案】 -3或4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.【解析】kAB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d=,从而弦长|AB|=2 =.(2022年北京卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.【解析】 本题考查直线和圆的位置关系以及简洁的平面几何学问.(法一)几何法:圆心到直线的距离为d=,圆的半径r=2,所以弦长为l=2=2=2;(法二)代数法:联立直线和圆的方程 消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.【答案】2