《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修2)教师用书：4.3直线和圆的位置关系-讲义.docx

第3课时　直线和圆的位置关系

1.理解直线与圆的位置关系的种类.
2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.
3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来推断直线与圆的位置关系.

重点:利用代数法和几何法推断直线与圆的位置关系;直线与圆相交时求解相交弦的问题.
难点:推断直线与圆的位置关系的方法选择.

一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的范围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,假如这艘船不转变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课争辩的对象.

问题1:直线与圆的位置关系有三种:　相交　、　相切　、　相离　 . 
推断直线与圆的位置关系有两种方法:
(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ,当判别式Δ<0时,直线和圆　相离　;当判别式Δ=0时,直线和圆　相切　 ;当判别式Δ>0时,直线和圆　相交　. 
(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:
dr⇒　相离　. 
问题2:过确定点是否都存在圆的切线?假如存在,如何求圆的切线方程?
(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.
2)若点在圆上,则过该点的切线只有　一条　,切线方程求法如下: 
①直接法,先求该点与圆心的连线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最终用点斜式求出切线方程.
②设元法,先设出切线方程(留意斜率不存在时的争辩),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.
③公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特殊地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:　x0x+y0y=r2　. 
(3)若点在圆外,则过该点的切线有　两条　,切线方程求法如下: 
首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.
问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.
(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|=
 ·|xA-xB|=　. 
问题4:用直线与圆的学问解决实际问题的步骤
(1)认真审题,理解题意;
(2)引入　数学符号　,建立　数学模型　; 
(3)用直线与圆的学问解决已建立的数学模型;
(4)用结果解释　实际问题　. 

北京时间2022年7月28日凌晨,第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦开幕,开幕式艺术总监丹尼·博伊尔以“奇迹之岛”为主题,向全世界奉献了一场视觉盛宴,其中让我们难忘的是其次章《喧嚣》——提前铸造的巨型的圆环渐渐飘向空中,发出彩色光线的五环就像是工业革命时代的产物,溅射着火星,渐渐地聚集在一起.

1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是(　　 ).
A.相交　　　　　　　　B.相切
C.相离 D.相切或相交
【解析】∵d==1<4,∴直线与圆的位置关系是相交.
【答案】A
2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为(　　).
A. B.3
C. D.5
【解析】由于过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2-(-1)=3.
【答案】B
3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值范围是　　　　. 
【解析】依题意有<1,解得0
【方法指导】可依据切线与过切点的直径的垂直关系求解.
【解析】(法一)当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,
∵圆的切线垂直于过切点的半径,
∴k=-.∵k1=,∴k=-.
∴经过点M的切线方程是 y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=+.
又∵点M(x0,y0)在圆上,∴+=r2.
∴所求的切线方程是 x0x+y0y=r2.
当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.
(法二)设P(x,y)为所求切线上的任意一点,
当P与M不重合时,△OPM为直角三角形,OP为斜边,
∴OP2=OM2+MP2,即x2+y2=++(x-x0)2y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.
可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.
(法三)设P(x,y)为所求切线上的任意一点(M与P不重合),
当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得kOM· kMP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.
可以验证,当点M在坐标轴上时,同样适合上式;当P与M重合时亦适合上式.
故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.
【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:①设切线斜率,利用判别式,但过程冗长,计算简洁,易出错,通常不接受此法,但该法却是推断直线和曲线相切的通法,以后会经常用到;②设切线斜率利用圆心到直线的距离等于半径;③设切点,利用过圆心和切点的直线与切线垂直.前两种方法要验证斜率是否存在.
(2)过圆外一点可作圆的两条切线.

求圆的弦长
求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.
【方法指导】利用代数方法求出交点,或利用几何方法构造关系求解.
【解析】(法一)直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.
依据x-y+2=0得y=x+2,
代入x2+y2=4得x2+x=0,
解得或
∴公共点坐标为(-,1)和(0,2),
直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.
(法二)

如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),
所以OM==,
所以AB=2AM=2=2=2.
【小结】在本题的两种方法中,前一种方法是代数法,后一种方法是几何法.在处理与直线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算.

利用圆的方程求最值
已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.
【方法指导】将代数式3x2+4y2转化为x或y的一元二次关系式,再求出其最值,应留意圆的方程x,y中有其限制.
【解析】 由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,
故3x2+4y2在x=8时有最大值64,没有最小值.
[问题]在圆的方程中变量x的取值范围是R吗?
[结论]将x=8代入圆方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,冲突,所以上述解法是错误的.由于y2=4-(x-2)2≥0,所以x的取值范围不是R.
于是,正确解答为:
由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2≥0,得0≤x≤4,
所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0≤x≤4),
所以当x=y=0时,3x2+4y2取得最小值0;当x=4,y=0时,3x2+4y2取得最大值48.
【小结】确定圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的变量的取值范围的方法:先配方,再依据平方项非负来确定.圆的方程中变量的范围一般是以隐含条件的形式毁灭在试题中,因此在解题时留意挖掘出这个隐含条件.

求过点P(4,5)的圆(x-2)2+y2=4的切线方程.
【解析】把点P(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.
设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,
又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=.
将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.
当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.
因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.

已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.
【解析】将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.
(法一)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D,
则依据题意和圆的性质,
得即:+2=4.
解得a=-7或a=-1.
即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.
(法二)联立方程组消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.
Δ=-16(4a+3)>0,即a<-,
设此方程的两根分别为x1,x2,
由韦达定理知x1+x2=-,x1x2=.
由AB=2=,
可求出a=-7或a=-1,
所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.

已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值为　　　　;最小值为　　　　. 
【解析】由于 表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=1,解得k=±.所以的最大值为 ,最小值为- .
【答案】　-

1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　).
A.相切　　　　　　　　B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
【解析】由于圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=<1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.
【答案】 B
2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为(　　).
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
【解析】由于点P在圆C上,kPC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.
【答案】D
3.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于　　　　. 
【解析】由题设知圆心坐标为(1,0),由于直线与圆相切,所以d==r=,解得m=或-3.
【答案】 -3或
4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135°,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.
【解析】∵kAB=-1,∴直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
故圆心(0,0)到AB的距离d==,从而弦长|AB|=2 =.

　　(2022年·北京卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为　　　　. 
【解析】 本题考查直线和圆的位置关系以及简洁的平面几何学问.
(法一)几何法:圆心到直线的距离为d==,圆的半径r=2,所以弦长为l=2×=2=2;
(法二)代数法:联立直线和圆的方程 消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.
【答案】2