2021高考数学(福建-理)一轮学案47-直线及其方程.docx

第九章　解析几何
学案47　直线及其方程

导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，把握过两点的直线斜率的计算公式.3.把握确定直线位置的几何要素，把握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．

自主梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为______________．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______________________.
2．直线的方向向量
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为，其坐标为________________，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)．
3．直线的方程和方程的直线
已知二元一次方程Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)和坐标平面上的直线l，假如直线l上任意一点的坐标都是方程____________的解，并且以方程Ax＋By＋C＝0的任意一个解作为点的坐标都在__________，就称直线l是方程Ax＋By＋C＝0的直线，称方程Ax＋By＋C＝0是直线l的方程．
4．直线方程的五种基本形式
名称
方程
适用范围
点斜式

不含直线x＝x0
斜截式

不含垂直于x轴的直线
两点式

不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式

不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式

平面直角坐标系内的直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
自我检测
1．(2011·银川调研)若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为(　　)
A. B．－ C．－2 D．2
2．直线l与两条直线x－y－7＝0，y＝1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A．－ B. C. D．－
3．下列四个命题中，假命题是(　　)
A．经过定点P(x0，y0)的直线不愿定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过两个不同的点P1(x1，y1)P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示
C．与两条坐标轴都相交的直线不愿定可以用方程＋＝1表示
D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b
4．(2011·商丘期末)假如A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知直线l的方向向量与向量a＝(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为(　　)
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0

探究点一　倾斜角与斜率

例1　已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率．

变式迁移1　直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A. B．(0，π)
C. D.∪
探究点二　直线的方程
例2　(2011·武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．

变式迁移2　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

探究点三　直线方程的应用

例3　过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：
(1)△AOB面积最小时l的方程；
(2)|PA|·|PB|最小时l的方程．

变式迁移3　为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物疼惜区不能占用，经测量|AB|＝100 m，|BC|＝80 m，|AE|＝30 m，|AF|＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？

探究点四　数形结合思想
例4　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)．
试求的最大值与最小值．

变式迁移4　直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是(　　)
A．[－，5] B．[－，0)∪(0,5]
C．(－∞，－]∪[5，＋∞) D．[－，)∪(，5]

1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0°≤α<180°，熟记斜率公式k＝，该公式与两点挨次无关．已知两点坐标(x1≠x2)，依据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求直线方程，但都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式．
3．使用直线方程时，确定要留意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必需有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2) (m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A．(0，π) B.∪
C. D.∪
2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3．点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x＋4y的最小值是(　　)
A．2 B．4
C．16 D．不存在
4．(2011·宜昌调研)点A(a＋b，ab)在第一象限内则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
5．(2011·包头期末)经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＝2 B．2x＋y＝4
C．2x＋y＝3 D．2x＋y＝3或x＋2y＝0
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝________.
7．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是________．
8．设AB是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：
(1)直线AB的斜率k；
(2)求直线AB的方程；
(3)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．

10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求m的范围．

11．(14分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0 (k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

学案47　直线及其方程
自主梳理
1．(1)①正向　向上　0°　②0°≤α<180°　(2)①正切值　tan α　②　2.(x2－x1，y2－y1)　3.Ax＋By＋C＝0
直线l上　4.y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝　＋＝1(a≠0，b≠0)　Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)　5.　
自我检测
1．A　2.D　3.D　4.C　5.D
课堂活动区
例1　解题导引　斜率与倾斜角常与三角函数联系，本题需要挖掘隐含条件，推断角的范围．关键是娴熟把握好依据三角函数值确定角的范围这一类题型．
解　设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α，
由题意可知：tan 2α＝＝，∴＝.
整理得3tan2α＋8tan α－3＝0.
解得tan α＝或tan α＝－3，∵tan 2α＝>0，
∴0°<2α<90°，∴0°<α<45°，∴tan α>0，
故直线l的斜率为.
变式迁移1　D　[直线xsin α－y＋1＝0的斜率是k＝sin α，
又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是，
当－1≤k<0时，倾斜角的范围是.]
例2　解题导引　(1)对直线问题，要特殊留意斜率不存在的状况．
(2)求直线方程常用方法——待定系数法．
待定系数法就是依据所求的具体直线设出方程，然后依据它们满足的条件求出参数．
解　过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，
明显不满足中点是点M(0,1)的条件．
故可设所求直线方程为y＝kx＋1，与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组①
②
由①解得xA＝，由②解得xB＝.
∵点M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM，
即＋＝0，解得k＝－.
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
变式迁移2　解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
∵tan α＝3，∴tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
例3　解题导引　先设出A、B所在的直线方程，再求出A、B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学学问求最值．
确定直线方程可分为两个类型：一是依据题目条件确定点和斜率或确定两点，进而套用直线方程的几种形式，写出方程，此法称直接法；二是利用直线在题目中具有的某些性质，先设出方程(含参数或待定系数)，再确定参数值，然后写出方程，这种方法称为间接法．
解　设直线的方程为＋＝1 (a>2，b>1)，
由已知可得＋＝1.
(1)∵2 ≤＋＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝ab≥4.
当且仅当＝＝，
即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
(2)由＋＝1，得ab－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA|·|PB|
＝·
＝
≥.
当且仅当a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3时，|PA|·|PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
变式迁移3　解　如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，

∴线段EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
在线段EF上取点P(m，n)，
作PQ⊥BC于点Q，
PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20(1－)．
∴S＝(100－m)(80－20＋m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
∴当m＝5时，S有最大值，这时＝＝5.
所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大．
例4　解题导引　解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果．

解　由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知：
kPA≤k≤kPB，由已知可得：
A(1,1)，B(－1,5)，
∴≤k≤8，
故的最大值为8，最小值为.
变式迁移4　C

　[如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.
kMP＝5，kMQ＝－.
当直线l从MP开头绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5.当直线l从MN开头逆时针旋转到MQ时，
∵正切函数在(，π)上仍为增函数，
∴斜率从－∞开头增加，增大到kMQ＝－，
故直线l的斜率范围是(－∞，－]∪[5，＋∞)．]
课后练习区
1．B　2.B　3.B　4.C　5.D
6．－2　7.[π，π)　8.x＋y－5＝0
9．解　(1)当m＝－1时，
直线AB的斜率不存在；(1分)
当m≠－1时，k＝.(3分)
(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1，(5分)
当m≠－1时，AB的方程为y－2＝(x＋1)，
即y＝＋.(7分)
∴直线AB的方程为x＝－1或y＝＋.
(8分)
(3)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，
∵k＝∈(－∞，－]∪，
∴α∈∪.(10分)
综合①②，知直线AB的倾斜角
α∈.(12分)
10.

解　直线x＋my＋m＝0恒过A(0，－1)点．(2分)
kAP＝＝－2，
kAQ＝＝，(5分)
则－≥或－≤－2，
∴－≤m≤且m≠0.(9分)
又m＝0时直线x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，
∴所求m的范围是－≤m≤.(12分)
11．(1)证明　直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令，解之得，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．(4分)
(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必需有，解之得k>0；(7分)
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.(9分)
(3)解　由l的方程，得A，
B(0,1＋2k)．依题意得　
解得k>0.(11分)
∵S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，
即k＝，
∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.(14分)