【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(11月第三期)：D单元数列.docx

D单元　数列
名目
D单元　数列 1
D1 数列的概念与简洁表示法 1
D2 等差数列及等差数列前n项和 1
D3　等比数列及等比数列前n项和 1
D4　数列求和 1
D5 单元综合 1

D1 数列的概念与简洁表示法

【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19、（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.
（1）求数列的通项公式和；
（2）若问是否存在实数，使得数列为单调递增数列？若存在，恳求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【学问点】等差数列及其前n项和；等比数列；单调递增数列的条件. D1 D2 D3
【答案解析】(1)，；（2）存在实数，且.
解析：(1) 由，
得：解得：．
∴ ，． …………………………………5分
(2) 由题知． ………………………………………………6分
若使为单调递增数列，
则 =对一切n∈N*恒成立，
即： 对一切n∈N*恒成立， ………………………………… 10分
又是单调递减的,
∴ 当时，=-3，
∴ ． …………………………………………………………………12分
【思路点拨】(1)依据已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得和；
（2）若数列为单调递增数列，则对一切n∈N*恒成立，
即： 对一切n∈N*恒成立，由此得的取值范围.

【数学理卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211） 】13.若数列的前项和,则=___________
【学问点】数列递推式．菁D1
【答案解析】-8 解析：由Sn=an+，得，解得：a1=1；
取n=2得：，解得：a2=﹣2；
取n=3得：，解得：a3=4；
取n=4得：，解得：a4=﹣8．
故答案为：﹣8．
【思路点拨】在数列递推式中分别取n=1，2，3，4，即可求得a4的值．

【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】20．（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立。
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【学问点】已知递推公式求通项；数列前n项和求法. D1 D4
【答案解析】(1) ；（2）.
解析：（1）当时，【来源：全,品…中&高*考*网
】又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴
（2），所以

【思路点拨】（1）利用公式变形已知递推公式，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，再用裂项求和法求数列前项和.

【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】11. 已知数列中满足，，则的最小值为（ ）
A. 10 B. C.9 D.
【学问点】累加法；数列中的最小值问题. D1
【答案解析】D 解析：由于，，所以
=2[1+2+3+----+(n-1)]=n(n-1)
所以，所以=，
由于函数在上单调递减，在上单调递增，而,
且，所以的最小值为，故选D.
【思路点拨】由累加法求得数列的通项公式，得是函数图像上的一些点由函数f(x)的单调性，求得的最小值.

【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】13、数列中，，则通项公式为_____________.
【学问点】数列递推式．D1
【答案解析】 解析：设an+1+k=3（an+k），得an+1=3an+2k，与an+1=3an+2比较得k=1，∴原递推式可变为an+1+1=3（an+1），∴，
∴{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，
∴，
【思路点拨】由题意知an+1+1=3（an+1），所以 {an+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列，由此可知。

【数学文卷·2021届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（202211）】18.（本题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an，求Sn.
【学问点】已知递推公式求通项；数列前n项和求法. D1 D4
【答案解析】(1) 2n；（2）(2n－3)·2n＋1＋6. 解析：(1)∵Sn＝2an－2，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，
即an＝2an－2an－1，∵an≠0，∴＝2(n≥2，n∈N*)．
∵a1＝S1，∴a1＝2a1－2，即a1＝2.
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an＝2n.
(2)Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an
＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n， ①
∴2Sn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1， ②
①－②得－Sn＝1×2＋(2×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)2n＋1，
即－Sn＝1×2＋(23＋24＋…＋2n＋1)－(2n－1)2n＋1
∴Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
【思路点拨】(1) 利用公式变形已知递推公式，从而求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，则Sn是一个等差数列通项，与一个等比数列通项的积，构成的新数列的前n项和，所以用错位相减法求Sn.

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】19、（本小题满分13分）
已知数列满足，且.
(1) 若存在一个实数，使得数列为等差数列，恳求出值；
(2) 在（1）的条件下，求出数列的前n项和.
【学问点】已知递推公式求通项；等差数列定义；数列求和. D1 D2 D4
【答案解析】（1）-1；（2）
解析：（1）假设存在实数符合题意，则必为与n无关的常数，
，要使是与n无关的常数，则=0，得，
故存在实数，使得数列为等差数列.-----6分
（2）由（1）可得，且首项为
，--------8分
令且其前n项和为，则 ①
②
- ②得=，
，.---------13分
【思路点拨】（1）依据等差数列的定义，转化为方程恒成立问题求值；（2）由（1）得
，所以先用错位相减法求得的前n项和，进而得出数列的前n项和.

【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】21.(本小题满分12分)
已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2），试推断是否存在常数，使对一切都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）求：
【学问点】数列的递推公式；等比数列的推断；数列的求和 D1 D2 D4
【答案解析】
解：（1）由已知得，所以是公比为2的等比数列，首项为，
故
（2）由于
若恒成立，即恒成立
所以得
（3）

【思路点拨】（1）把已知的数列递推式变形，得到数列是公比为2的等比数列，求其通项公式后得答案；
（2）求出，由对于一切都有成立，比较系数求得A，B，C的值；
（3）直接利用裂项相消求得

【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】3.已知数列{an}满足，若，则
A.1 B. 2 D. 3 D.
【学问点】数列的概念及简洁表示法 D1
【答案解析】C 解析：由，得
当时，得，当时，得，即，
两式联立，得，把代入，解得，
故选：C
【思路点拨】依据数列的递推关系，即可得到结论。

【数学文卷·2021届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（202210）】二、填空题：本大题共4小题，共20分。
题文】13、若数列的前n项和，则 。
【学问点】数列的概念与简洁表示法D1
【答案解析】当n2时，=2n-1,当n=1时==2
所以
【思路点拨】依据数列的求和公式求出。

D2 等差数列及等差数列前n项和

【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试202210）word版】19．（本小题满分12分）
记公差不为0的等差数列的前项和为，，成等比数列．
(Ⅰ) 求数列的通项公式及；
(Ⅱ) 若，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，恳求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【学问点】等差数列;等比数列;数列求和.D2,D3,D4
【答案解析】(I) ，．(II) 解析：解：(Ⅰ) 由，
得：解得：．
∴ ，． …………………………………5分
(Ⅱ) 由题知．
若使为单调递减数列，则
-
=对一切n∈N*恒成立， …………………8分
即： ，
又=，……………………10分
当或时， =．
．………………………………………………………………………12分
【思路点拨】依据已知条件可求出数列的首项与公差，再依据数列的性质确定的值.

【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19、（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.
（1）求数列的通项公式和；
（2）若问是否存在实数，使得数列为单调递增数列？若存在，恳求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【学问点】等差数列及其前n项和；等比数列；单调递增数列的条件. D1 D2 D3
【答案解析】(1)，；（2）存在实数，且.
解析：(1) 由，
得：解得：．
∴ ，． …………………………………5分
(2) 由题知． ………………………………………………6分
若使为单调递增数列，
则 =对一切n∈N*恒成立，
即： 对一切n∈N*恒成立， ………………………………… 10分
又是单调递减的,
∴ 当时，=-3，
∴ ． …………………………………………………………………12分
【思路点拨】(1)依据已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得和；
（2）若数列为单调递增数列，则对一切n∈N*恒成立，
即： 对一切n∈N*恒成立，由此得的取值范围.

【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】21．已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；（6分）
（Ⅱ）若,,求. （6分）
【学问点】 等差等比数列的通项公式；数列求和.D2,D3,D4
【答案解析】(I) =2n (II) 解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有2（）=+,代入, 得=8,
∴+=20
∴解之得或
又单调递增，∴ =2, =2,∴=2n -------------------------------6分
（Ⅱ）,
∴ ①
∴ ②
∴①-②得
＝ ---------6分
【思路点拨】依据数列的性质可求出数列的通项，再依据数列的特点用错位相减法求和.

【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】19. 已知数列与，若且对任意正整数满足 数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；（5分）
（2）求数列的前项和（7分）
【学问点】 数列的通项公式；数列的求和公式.D2,D3,D4
【答案解析】(1) (2) 解析：解：（1）由题意知数列是公差为2的等差数列 又由于 所以 --2分
当时，；
当时，
对不成立
所以，数列的通项公式: --------3分
（2）时，
时，
所以
照旧适合上式
综上，--------------------------7分
【思路点拨】依据题意可求出通式公式，再依据数列的特点对数列进行求和.

【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】16．给出下列四个命题：
①中，是成立的充要条件；
②当时，有；
③已知是等差数列的前n项和，若，则；
④若函数为上的奇函数，则函数的图象确定关于点成中心对称．
其中全部正确命题的序号为 ．
【学问点】 充要条件；不等式；等差数列；函数的性质.A2,B4,D2,E1
【答案解析】①③ 解析：由题意可知，在三角形中，是成立的充要条件；当时有可能是负值，所以不愿定大于等于2；等差数列的前n项和，若，则而；若函数为上的奇函数，则函数的图象确定关于点成中心对称．所以只有①③正确.
【思路点拨】依据每一个问题进行分析可得到结果，对基础学问熟习是解题关键.
三、解答题

【数学理卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】7．等差数列的前项和为，已知，则( )
A． B． C． D．
【学问点】 等差数列D2
【答案解析】C 解析：解：由
【思路点拨】依据等差数列的概念可求出公差.

【数学理卷·2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211） 】14．已知等差数列的前项和是, 用由此可类比得到各项均为正的等比数列的前项积 （表示）
【学问点】等比数列等差数列D2 D3
【答案解析】 在等差数列{an}的前n项和为，由于等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n项积Tn= 故答案为：．
【思路点拨】由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．

【数学理卷·2021届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（202211） 】3．已知等差数列，若，则 （ ）
A. 24 B. 27 C . 15 D. 54
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】B 由等差数列的性质可得a4+a5+a6=3a5=9，解得a5=3，
∴S9===9a5=27故选：B
【思路点拨】利用等比数列的性质求解。

【数学理卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】10．记数列的前项和为，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为（ ▲ ）。
A． B． C． D．
【学问点】等差数列前n项和，二次函数D2,D5
【答案解析】D解析： 是等差数列， 代入，化简得 ，此式对任意正整数都成立，所以 成立，即解得 。
【思路点拨】由等差数列前n项和公式（首末项表示）代入原不等式，化简可得一元二次不等式，由可解m的范围。

【数学理卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211） 】7.设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（ ）
A.13 B.12 C.11 D. 10
【学问点】等差数列的前n项和．D2
【答案解析】B 解析：∵，∴，
∴a7＜0，a6+a7＞0．
∴，=6（a6+a7）＞0．
∴满足Sn•Sn+1＜0的正整数n的值为12．
故选C．
【思路点拨】由，利用等差数列的前n项和公式可得a7＜0，a6+a7＞0．进而得到．据此满足Sn•Sn+1＜0的正整数n的值为12．

【数学理卷·2021届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（202210）】19.（本小题满分14分）
已知、是方程的两根，数列是递增的等差数列，数列的前项和为，且（）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【学问点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性 D2,D3
【答案解析】(1) (2) 略 解析：解：（1）由题意得a2=3，a5=9
公差 所以an=a2+（n﹣2）d=2n﹣1
由得 当
当n≥2时 得 所以
(2)……9分

……………11分
两式相减得：……13分
，所以……14分
【思路点拨】（1）通过解二次方程求出方程的两个根，据数列{an}为递增数列为递增数列，求出a2，a5，利用等差数列的通项公式求出
数列{an}的公差，利用等差数列推广的通项公式求出其通项，利用数列{bn}的前n项和与通项的关系求出数列{bn}的通项．
（2）求出数列{cn}的通项，求出cn+1﹣cn的差，推断出差的符号，得证．

【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】17．（本小题满分12分）
在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且， .
（1）求与；
（2）设数列满足，求的前项和.
【学问点】等差数列及等差数列前n项和等比数列及等比数列前n项和D2 D3
【答案解析】（1）, （2）
（1）由于,所以,得,
,
（2）由于，所以
得
【思路点拨】依据等差数列等比数列公式求出通项公式，再依据等比数列求和求出结果。

【数学理卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】3. 为等差数列的前项和，，则
A． B． C． D．
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】B ：∵数列{an}是等差数列，∴a5===3．
∴S9==9a5=9×3=27．故选A．
【思路点拨】由等差数列的性质结合a2+a8=6求出a5，代入前9项和公式即可求得答案．

【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）17．（本小题13分）
已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的全部的集合；若不存在，说明理由.
【学问点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．D2 D3 D4
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.
解析：（Ⅰ），即，--------------4分
解得.--------------5分
故.--------------6分
（Ⅱ）.--------------8分
令，，.
当为偶数时，因，故上式不成立；-----------10分
当为奇数时，，，.--------------12分
综上，存在符合条件的正整数，且全部这样的的集合为.
--------------13分
【思路点拨】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，可求得1-（-2）n≥2021，对n的奇偶性分类争辩，即可求得答案．

【数学理卷·2021届北京市重点中学高三上学期第一次月考（202210）】11. 设是等差数列的前项和，若 ，则 ＝ .
【学问点】等差数列的前n项和.D2
【答案解析】1 解析：.
思路点拨】利用等差数列的前n项和公式把转化为即可。

【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】10. 数列满足，, 则数列的前项的和为（ ）
A． B.．　　　C．　　 　D．
【学问点】等差数列；等比数列；数列求和. D2 D3 D4
【答案解析】D 解析：由已知得，所以
所以数列的前项的和为，故选D.
【思路点拨】由已知得的通项公式，从而求得结论.

【数学文卷·2021届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试（202211）】6. 设公差不为0的等差数列的前项和为，若则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．21
【学问点】等差数列的性质. D2
【答案解析】B 解析：由于，所以，
所以，所以，故选B.
【思路点拨】依据等差数列的性质得，所以k=15.

【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】10 依据等差数列的性质可得：am-1+am+1=2am，
∵am-1+am+1- =0∴2am-am2=0∴am=0或am=2
若am=0，明显S2m-1=（2m-1）am不成立∴am=2∴s2m-1= =（2m-1）am=38，
解得m=10．故答案为：10
【思路点拨】依据等差数列的性质可知，am-1+am+1=2am，代入am-1+am+1-=0中，即可求出am，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m-1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值

【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期期中考试（202211）】6.设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时n=(　　)．
A．5　　　B．6　　　C．5或6　　　D．6或7
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】C ∵S6=5a1+10d，∴6a1+15d=5a1+10d得到a1+5d=0即a6=0，
∵数列{an}是公差d＜0的等差数列，∴n=5或6，Sn取最大值．故选：C．
【思路点拨】利用S6=5a1+10d，可得a6=0，依据数列{an}是公差d＜0的等差数列，即可得出结论．

【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A、3 B、4 C、5 D、2
【学问点】等差数列的通项公式．D2
【答案解析】A 解析：依据题意得：，解得：，故选A．
【思路点拨】写出数列的第一、三、五、七、九项的和，写出数列的其次、四、六、八、十项的和，都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．

【数学文卷·2021届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试（202210）】2、已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【学问点】等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数．C2 C5 D2
【答案解析】B 解析：∵，则a7=，
∴tan（a2+a12）=tan2a7=tan=，故选B.
【思路点拨】由于，则a7=，所以tan（a2+a12）=tan2a7=tan，由诱导公式计算可得答案．

【数学文卷·2021届湖南省师大附中高三上学期其次次月考（202210）】19、（本小题满分13分）
已知数列满足，且.
(3) 若存在一个实数，使得数列为等差数列，恳求出值；
(4) 在（1）的条件下，求出数列的前n项和.
【学问点】已知递推公式求通项；等差数列定义；数列求和. D1 D2 D4

【答案解析】（1）-1；（2）
解析：（1）假设存在实数符合题意，则必为与n无关的常数，
，要使是与n无关的常数，则=0，得，
故存在实数，使得数列为等差数列.---------6分
（2）由（1）可得，且首项为
，--------8分
令且其前n项和为，则 ①
②
- ②得=，
，.---------13分
【思路点拨】（1）依据等差数列的定义，转化为方程恒成立问题求值；（2）由（1）得
，所以先用错位相减法求得的前n项和，进而得出数列的前n项和.

【数学文卷·2021届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（202211）word版】15．设是实数，成等比数列，且成等差数列，则的值是
　　▲　　。
【学问点】等差中项，等比中项D2 D3
【答案解析】解析：由于成等比数列，所以，又由于成等差数列，所以，联立可得，由于得，所以.
【思路点拨】依据等差中项与等比中项的定义列的等式，然后联立消元，即可求解.

【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】19.(本小题满分14分)等差数列数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和。
【学问点】等差数列与等比数列的综合．D2 D3
【答案解析】(1) (2)
解析：
…………………………1分
…………………………2分
…………………………3分

…………………………6分
…………………………7分
…………………………
…………………………
（1）设等差数列{an}的公差为d，由于a7=4，a19=2a9，
所以，
解得a1=1，d=，
所以等差数列{an}的通项公式为；

（2）由（1）得 …………………………8分
则…………………………9分
…………………………10分
所以…………………………10分
…………………………13分
得……………………………………………………14分
【思路点拨】（1）设出等差数列的公差，利用方程组的思想求出首项和公差即可；
（2）利用错位相减法求数列{bn}的前n项和．

【数学文卷·2021届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（202211）】5.已知是等差数列，其前项和为，若，则=（ ）
A.15 B.14 C.13 D.12
【学问点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．D2
【答案解析】B 解析：由题意可知，a3+a2=7，S4=a1a2+a3+a4=2（a3+a2）=14．
故选：B．
【思路点拨】利用已知条件求出a3+a2的值，然后求解S4的值．

【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】21.(本小题满分12分)
已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2），试推断是否存在常数，使对一切都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）求：
【学问点】数列的递推公式；等比数列的推断；数列的求和 D1 D2 D4
【答案解析】
解：（1）由已知得，所以是公比为2的等比数列，首项为，
故
（2）由于
若恒成立，即恒成立
所以得
（3）

【思路点拨】（1）把已知的数列递推式变形，得到数列是公比为2的等比数列，求其通项公式后得答案；

（2）求出，由对于一切都有成立，比较系数求得A，B，C的值；
（3）直接利用裂项相消求得

【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】17.(本小题满分10分)
已知等差数列的前n项和满足
（1）求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【学问点】等差数列的通项；数列求和 D2 D4
【答案解析】
解：（1）设的公差为d，则.
由已知得解得.
故的通项公式为.
（2）由（I）知
从而数列的前n项和为
【思路点拨】（1）设出等差数列的首项和公差，直接由列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；
（2）把（1中求出的通项公式，代入数列的通项中进行裂项整理，利用裂项相消法可求数列的前n项和。

【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】14.已知等差数列()的首项，设为的前n项和，且，故当取最大值时n的值为___________.
【学问点】等差数列的性质；等差数列的前项和 D2
【答案解析】8或9 解析：，
，
，
，
数列是递减数列，
，
时，取最大值，
故答案为：8或9
【思路点拨】依据求得，依据可推断数列为递减数列，进而可知，进而可知当n=8或9时取得最大值．

【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】12.已知数列数列{}满足,且.若函数，记，则的前9项和为（）
A.0 B.-9 C.9 D.1
【学问点】等差数列的推断；等差数列的性质 D2
【答案解析】C 解析：∵数列{}满足
∴数列{an}是等差数列，
∵，
∴，

∵，
∴

，

同理，
又∵，
∴数列的前9项和为9
故选：C
【思路点拨】确定数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质，可得，由此可得结论。

第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题4分，共20分）

【数学文卷·2021届河北省衡水中学高三上学期二调考试（202210）word版】5.下面是关于公差d>0的等差数列{}的四个命题:
：数列{}是递增数列； :数列{}是递增数列;
：数列{}是递增数列; :数列{}是递增数列.
其中的真命题为
A. ， B. p3 C. ， D. ，
【学问点】等差数列的概念和性质 D2
【答案解析】B 解析：∵对于公差d＞0的等差数列{}，，∴命题：数列{}是递增数列成立，是真命题；
对于数列数列{}，第项与第项的差等于不愿定是正实数，即是假命题；
对于数列{}，第项与第项的差等于，不愿定是正实数，即是假命题；
对于数列{}，第项与第项的差等于，，即是假命题；
故选：B
【思路点拨】对于各个选项中的数列，计算第项与第项的差，看此差的符号，再依据递增数列的定义得出结论．

【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】14．数列中，，，则__________.
【学问点】等差数列D2
【答案解析】 由 取导数得 ，则=1
所以{}为等差数列，所以=1+4=3，所以=
【思路点拨】构造新数列确定{}为等差数列，求出，再求出。

【数学文卷·2021届宁夏银川一中高三第三次月考（202210）】3.为等差数列的前项和，，则
A． B． C． D．
【学问点】等差数列及等差数列前n项和D2
【答案解析】B ：∵数列{an}是等差数列，∴a5===3．
∴S9==9a5=9×3=27．故选A．
【思路点拨】由等差数列的性质结合a2+a8=6求出a5，代入前9项和公式即可求得答案．

【数学文卷·2021届吉林省试验中学高三上学期第三次质量检测（202211）】20.（本小题满分12分）
已知等差数列，公差，前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设，若也是等差数列，试确定非零常数，并求数列
的前项和.
【学问点】等差数列　数列求和D2 D4
【答案解析】（1）.(2)
（1）已知等差数列，且,公差，.
由得，..
（2），，，
又是等差数列，，
，

【思路点拨】利用等差数列的性质求出通项，用裂项求和求出和。

【数学卷·2021届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试（202210）】20．（本小题满分12分）
已知是公差为的等差数列，它的前项和为，且．
（Ⅰ）求公差的值；
（Ⅱ）若，是数列的前项和，不等式对全部的恒成立,求正整数的最大值.
【学问点】等差数列及其前n项和；裂项求和法；不等式恒成立问题. D2 D4 E1
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）6. 解析：（Ⅰ）∵，即，
化简得：，解得． ………………4分
（Ⅱ）由，
∴ =． …………………6分
∴=
=≥， ……………………8分
又∵ 不等式对全部的恒成立∴≥，
化简得：，解得：．∴正整数的最大值为6．……12分
【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式、前n项和公式求解；（Ⅱ）利用裂项求和法求得，再用不等式恒成立的条件得关于m的不等式，解得m的最大值.

D3　等比数列及等比数列前n项和

【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19．（本小题满分12分）
记公差不为0的等差数列的前项和为，，成等比数列．
(Ⅰ) 求数列的通项公式及；
(Ⅱ) 若，n=1，2，3，…，问是否存在实数，使得数列为单调递减数列？若存在，恳求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【学问点】等差数列;等比数列;数列求和.D2,D3,D4
【答案解析】(I) ，．(II) 解析：解：(Ⅰ) 由，

得：解得：．
∴ ，． …………………………………5分
(Ⅱ) 由题知．
若使为单调递减数列，则
-
=对一切n∈N*恒成立， …………………8分
即： ，
又=，……………………10分
当或时， =．
．………………………………………………………………………12分
【思路点拨】依据已知条件可求出数列的首项与公差，再依据数列的性质确定的值.

【数学（理）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】3．设各项均不为0的数列{an}满足(n≥1)，Sn是其前n项和，若，则S4=
(A)  4 (B)
(C) (D)
【学问点】等比数列. D3
【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，由于，所以，所以，故选D.
【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再依据求得，进而求.

【数学（文）卷·2021届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试（202210）word版】19、（本小题满分12分）记公差不为0的等差数列的前n项和为成等比数列.
（1）求数列的通项公式和；
（2）若问是否存在实数，使得数列为单调递增数列？若存在，恳求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【学问点】等差数列及其前n项和；等比数列；单调递增数列的条件. D