2020-2021学年北师大版高中数学必修4：第三章-三角恒等变形-单元同步测试.docx

阶段性检测卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共有10个小题，每小题5分，共50分)1sin45cos15cos225sin15的值为()A B.C D.解析原式sin45cos15cos45sin15sin30.答案D2已知tan()3，则sincos的值为()A. BC D.解析tan()3，3，即3，9，sincos.答案A3y(sinxcosx)21是()A最小正周期为2的偶函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数解析y2sinxcosxsin2x.答案D4已知锐角满cos2cos，则sin2等于()A. BC. D解析，2(0，)，.又cos2cos，2或20.或(舍)sin2sin，故选A.答案A5若sincos，且，则cossin的值是()A. BC. D解析，cossin.答案B6求值等于()A1 B2C. D.解析原式.答案C7已知向量a(sin，cos2sin)，b(1,2)，若ab，则的值为()A. BC. D解析由ab知，2sincos2sin，得tan，.答案B8已知cos()，sin，且，则sin()A. B.C D解析，(0，)sin()，cos.sinsin()sin()coscos()sin.答案A9使函数ysin(2x)cos(2x)为奇函数，且在0，上为减函数的的一个值为()A. B.C. D.解析y2sin(2x)，逐个检验答案C10设atan15tan30tan15tan30，b2cos210sin70，c16cos20cos40cos60cos80，则a，b，c的大小关系是()Aabc Bab，bcCab，bc Dabc解析，(0，)sin()，cos.sinsin()sin()coscos()sin.答案A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11已知tan，tan，且0，则_.解析：tan()1，0，2.答案：12已知f(x)2tanx，则f()_.解析f(x)2tanx2，f8.答案813设ABC的三个内角A，B，C，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，若mn1cos(AB)，则角C_.解析mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)1cos(AB)又A，B，C为ABC的内角，ABC.故sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，原式可化为sinCcosC1，即sin，C， C.C.答案14.的值为_解析原式44.答案415关于函数f(x)cos(2x)cos(2x)，有下列说法：f(x)的最大值为；yf(x)是以为最小正周期的周期函数；yf(x)在区间，上单调递减；将函数ycos2x的图像向左平移个单位后，将与已知函数的图像重合其中正确说法的序号是_解析f(x)coscoscossincos故正确，又将ycos2x图像向左平移个单位得到的是ycos的图像，故不正确又当x时，02x，函数f(x)在上单调递减，故正确答案三、解答题(本大题共6道题，共75分)16(12分)已知tan，求的值解tan，tan，.17(12分)已知，都为锐角，cos，tan()，求cos的值解由于是锐角，所以sin.所以0，又0，所以.又tan()，所以0.由tan()，且sin2()cos2()1，得sin()，cos()，从而coscos()coscos()sinsin().18(12分)求证：.证明左边右边等式成立19(13分)已知函数f(x)sincosxR，(1)求f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知cos()，cos()，0，求证f()220.解(1)f(x)sincossinsin2sin，T2，f(x)min2.(2)证明：由已知coscossinsin，coscossinsin.两式相加2coscos0.0，.f()224220.20(13分)如图，在一块半径为R的半圆形的铁板中截取一个内接矩形ABCD，使其一边CD落在圆的直径上，问应当怎样截取，才可以使矩形ABCD的面积最大？并求出这个矩形的面积解如图所示，设AOD，则ODOAcosRcos，ADOAsinRsin，矩形ABCD的面积为S矩形ABCDCDAD2ODAD2RcosRsinR2sin2R2，其中等号成立的条件是sin21，即290，于是45，此时这个矩形的长度为2：1，C，D距O的距离为R时，(S矩形ABCD)maxR2.21(13分)已知函数f(x)sin2x2sin2x，(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合解(1)由于f(x)sin2x(1cos2x)2sin1.所以，当2x2k，即xk(kZ)时，函数f(x)取得最大值1.(2)解法一：由(1)及f(x)0，得sin，所以2x2k，或2x2k，即xk，或xk(kZ)故函数f(x)的零点的集合为x|xk，或xk，kZ解法二：由f(x)0，得2sinxcosx2sin2x，于是sinx0，或cosxsinx，由sinx0可知xk；由cosxsinx，即tanx可知xk，kZ，故函数f(x)的零点的集合为x|xk，或xk，kZ