1、
典型例题
1、某人在草地上闲逛 ，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，求此人步行的速度．
解：如图所示，A、B两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C点时，测得∠BCO =，
∠ACO =，∴∠BCA =∠BCO－∠ACO =－=．
由题意，知∠BAC =，∠ABC =．
在△ABC中，由正弦定理，得：=，
即有AC = ==＋6．
在直角三角形AOC中，有：OC = AC·cos= (＋6)×= 9＋．
设步行速度为x米/分，则x == 3＋≈4.7．
即此人步行的速度为4.7米/
2、分．
2、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
解：如图，在△ABP中，AB = 30×= 20，
∠APB =，∠BAP =，
由正弦定理，得：=，即=，解得BP =．
在△BPC中，BC = 30×= 40，
由已知∠PBC =，∴PC === (海里)．
所以P、C间的距离为海里．
3、已知的周长为，且．⑴求边的长；⑵若的面积为，求角的度数．
解：⑴由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．
⑵由的面积，得，
由余弦定理
3、得 ，所以．
4.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观看到点C处有一辆汽车沿大路向M站行驶。大路的走向是M站的北偏东40。开头时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC==,
则sinC =1- cosC =, sinC =,
所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC - cos120sinC =
在MAC中，由正弦定理得
MC ===
4、35 从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。
5.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再连续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30，
AD=DC=10， ADC =180-4， = 。
由于 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30
=15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角为15，建筑物高度为15
5、m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 RtACE中,(10+ x) + h=30
在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15
在 RtACE中,tan2== 2=30,=15
答：所求角为15，建筑物高度为15m
解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m
在RtACE中，sin2= ① 在RtADE中，sin4=, ②
②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所
6、求角为15，建筑物高度为15m
6.某巡逻艇在A处发觉北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇马上以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应当沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+=
(14x) = 9+ (10x) -2910xcos
化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又由于sinBAC ===
B
7、AC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），
38+=83
答：巡逻艇应当沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
7.我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发觉敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）
解：如图，在ABC中由余弦定理得：
BC=AC+ AB-2ABAC cosBAC
= 20+ 12-21220 (- )
=784
BC=28
我舰的追击速度为14n mile/h
又在ABC中由正弦定理得：
= , 故 sinB = = B = arcsin
答：我舰的追击速度为14n mile/h，航行方向为北偏东（-arcsin）
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