【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：5.3.docx

第五章 5.3第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是(　　)
A．|a|＝|b|　　　　　　　　B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
答案　C
解析　由题知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．
2．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，若|c|＝，且a·b＝a·c，则c＝(　　)
A．(－4,7) B．(－5,1)
C．(5,1) D．(2,4)
答案　C
解析　设c＝(x，y)，|c|＝，∴x2＋y2＝26①
∵a·b＝a·c，∴2×(－4)＋3×7＝2x＋3y②
联立①②，解之得
3．已知|a|＝3，|b|＝2，＝60°，假如(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，
即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0⇒3m·32＋(5m－3)·3×2·cos60°－5×22＝0，解之得m＝
4．O为△ABC的内切圆圆心，AB＝5，BC＝4，CA＝3，下列结论正确的是(　　)
A.·<·<·
B.·>·>·
C.·＝·＝·
D.·<·＝·
答案　A

解析　如图，A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O(1,1)，
则＝(－1,2)，＝(3，－1)，＝(－1，－1)，·＝－5，·＝－1，·＝－2
5．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为(　　)
A．－　　　　　　　　　B.
C．2 D．6
答案　D
解析　依题意得6－m＝0，m＝6，选D.
6．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
答案　B
解析　设|a|＝m(m>0)，则由a＋b＝c得(a＋b)2＝c2,2m2＋2m2cos〈a，b〉＝m2，cos〈a，b〉＝－.又0°≤〈a，b〉≤180°，因此〈a，b〉＝120°，选B.
7．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)
A．25　　　　　　　　B．24
C．－25 D．－24
答案　C
解析　∵||＝3，||＝4，||＝5，
∴||2＝||2＋||2，故∠B＝90°.则有·＝0.
由·＝||cos(π－C)＝4×5×(－)＝－16，
·＝||||cos(π－A)＝5×3×(－)＝－9，
则原式＝0＋(－16)＋(－9)＝－25.
8．O为空间中确定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足(－)·(－)＝0，则点P的轨迹确定过△ABC的(　　)
A．外心　　　　　　　　　B．内心
C．重心 D．垂心
答案　D
二、填空题
9．在△OAB中，M是AB的中点，N是OM的中点，若OM＝2，则·(＋)＝________.

答案　－2
解析　

如图，延长NM到点C，使得MC＝NM.连接AC、BC.依据向量的几何运算法则，可得＋＝＝，而＝－，所以·(＋)＝－||2＝－2.
10．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于________．
答案　(，)
解析　令b＝(x，y)，注：也可设b＝(cosθ，sinθ)，则

将②代入①知
x2＋(－x)2＝1⇒x2＋3－6x＋3x2－1＝0，
解得x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝⇒y＝.
11．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为________．
答案　6
解析　∵a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
∴|a|＝6
12．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________.
答案　3
解析　方法一　如图所示，

∵·＝0，∴⊥.
不妨设||＝2，过C作⊥于D，⊥于E，则四边形ODCE是矩形，
＝＋＝＋.
∵||＝2，∠COD＝30°，∴||＝1，||＝.
又∵||＝，||＝1，
故＝ ，＝，
∴＝ ＋，此时m＝，n＝，
∴＝＝3.

方法二　由·＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知＝(1,0)，＝0，)，
又由＝m＋n，可知＝(m，n)，
故由tan30°＝＝，可知＝3
13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________
答案　
解析　由于|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×1×2cos 60°＋22＝3，故|a－b|＝.
三、解答题
14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|和|a－b|；
(3)若＝a，＝b，作△ABC，求△ABC的面积．
解析　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6，
∴cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
(2)可先平方转化为向量的数量积．
|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
∴|a＋b|＝.
同理，|a－b|＝＝，
(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值．
由(1)知∠BAC＝θ＝120°，
||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC
＝×3×4×sin120°＝3
15．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．
解析　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
解得－7a＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解析　(1)证明　∵(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a|·|c|·cos120°－|b|·|c|·cos120°＝0，
∴(a－b)⊥c.
(2)解析　|ka＋b＋c|>1⇔|ka＋b＋c|2>1，
⇔k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a、b、c的夹角均为120°，
∴a2＝b2＝c2＝1，
a·b＝b·c＝a·c＝－，
∴k2－2k>0，∴k>2或k<0

拓展练习·自助餐

1．已知a，b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
答案　
解析　解法一：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0.
又(a－c)·(b－c)＝0，所以|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，其中θ是c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ.
又θ∈[0，π]，所以|c|的最大值是.故填.
解法二：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，
则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)．
又(a－c)·(b－c)＝0，所以(1－x)·(－x)－y(1－y)＝0，从而得到圆：(x－)2＋(y－)2＝，所以向量c的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上．又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大值是.故填.
解法三：由于(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c相互垂直．
又a，b是两个相互垂直的单位向量，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c为其对角线．
所以当c是直径时，|c|达到最大值，这时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值是.故填.
2．定义平面对量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λa⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
答案　B
解析　依据题意可知若a，b共线，可得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所以A正确．由于a⊙b＝mq－np，则b⊙a＝np－mq，故二者不等，所以B错误．对于任意的λ∈R，(λa)⊙b＝λ(a⊙b)＝λmq－λnp，所以C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2＋n2p2－2mnpq＋m2p2＋n2q2＋2mnpq＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，所以D正确，故选B.
3．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则·(＋)的最小值是________．
答案　－2
解析　解法一　如图所示，由题易得

⇒·(＋)＝·2
＝2||||·cos180°
＝－2||||.
又∵||＋||＝2，
∴||||≤()2＝1
(当且仅当||＝||时取等号)．
∴·(＋)＝－2||||≥－2，
即O为AM中点时，·(＋)取最小值为－2.
解法二　令||＝x且0≤x≤2，则||＝2－x.
·(＋)＝·2
＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)
＝2(x－1)2－2≥－2.
∴·(＋)的最小值为－2.
4．已知a是平面内的单位向量，若b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
答案　[0,1]

5．如图，P是△AOB所在平面一点，向量＝a，＝b，且P点在线段AB的垂直平分线上，向量＝c，若|a|＝2，|b|＝1，则c·(a－b)的值为
A.　　　　　　B．1
C. D．2
答案　C
解析　设线段AB的垂直直平分线与AB的交点为C，连接OC，则c·(a－b)＝·＝(＋)·＝·＋·＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝.故选C.