2021年高三数学(文科)二轮复习课时作业1-6-2-Word版含解析.docx

课时跟踪训练
1．若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足(　　)
A．a2＞b2　　　　　　　 B.＜
C．0＜a＜b D．0＜b＜a
解析：由ax2＋by2＝1，得＋＝1，由于焦点在x轴上，所以＞＞0，所以0＜a＜b.
答案：C
2．(2022年新课标卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4 ，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，(图略)由于＝4 ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.
答案：C
3．已知F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P，则|PF2|＝(　　)
A．6 B．4
C．2 D．1
解析：由题意令|PF2|－|PF1|＝2a，由双曲线方程可以求出|PF1|＝4，a＝1，所以|PF2|＝4＋2＝6.
答案：A
4．(2022年全国大纲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由椭圆的性质知|AF1＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1.∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.
答案：A
5．(2022年沈阳模拟)已知双曲线－＝1(t＞0)的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为(　　)
A．2 B.
C．3 D．4
解析：依题意，抛物线y＝x2即x2＝8y的焦点坐标是(0,2)，因此题中的双曲线的离心率e＝＝＝2，选A.
答案：A
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的顶点恰好是椭圆＋＝1的两个顶点，且焦距是6，则此双曲线的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：由题意知双曲线中，a＝3，c＝3，所以b＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：C
7．(2022年重庆高考)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．3
解析：由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即92－－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.
答案：B
8．已知点M(－3,2)是坐标平面内确定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)
A. B．3
C. D．2
解析：抛物线的准线方程为x＝－，由图知，当MQ∥x轴时，|MQ|－|QF|取得最小值，此时|QM|－|QF|＝|2＋3|－＝，选C.

答案：C
9．过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2 ，则|BC|＝(　　)
A. B．6
C. D．8
解析：不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0＜θ＜，点B(x1，y1)、C(x2，y2)，则点B在x轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，抛物线方程是y2＝4x，焦点F(1,0)，cos θ＝＝＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝＝2，直线l：y＝2(x－1)．由得8(x－1)2＝4x，即2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，选A.
答案：A
10．(2022年湖北高考)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)
A. B.
C．3 D．2
解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，双曲线的方程为－＝1(m＞0，n＞0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos⇒a2＋3m2＝4c2⇒2＋32＝4，则≥2⇒＋＝＋≤，当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A.
答案：A
11．C是以原点O为中心，焦点在y轴上的等轴双曲线在第一象限的部分，曲线C在点P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则(　　)
A．|OP|＝|AB|
B．|OP|＝|AB|
C.|AB|＜|OP|＜|AB|
D．|OP|＜|AB|
解析：设过点P的切线为y＝kx＋m，由，消去y得：(kx＋m)2－x2＝a2，即(k2－1)x2＋2kmx＋m2－a2＝0，∵直线与曲线相切，故Δ＝0，由求根公式可知xP＝，∴P.∵，
∴可取B，∵，
∴可取A，∴xP＝，yP＝，∴P为AB的中点，∠AOB＝90°，∴|OP|＝|AB|.
答案：A
12．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设向量，的夹角为θ.由条件知|AF2|为椭圆通径的一半，即为|AF2|＝＝，则·＝||cos θ，于是·要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以·＝||cos θ≤，故选B.
答案：B
13．已知点F(1,0)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，则p＝________.
解析：由题意可得＝1，解得p＝2.
答案：2
14．(2022年南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x＝，且它的一个顶点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：抛物线y2＝－4x的焦点为(－1,0)，所以双曲线的一个顶点为(－1,0)，即a＝1，又由于双曲线的一条准线方程为x＝，所以＝，故c＝2，b＝，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
15．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的两条切线，记切点分别为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的离心率e＝________.
解析：如图所示，依据题意以及双曲线的几何性质，|FO|＝c，|OA|＝|OC|＝a，而∠ACB＝120°，∴∠AOC＝60°，又FA是圆O的切线，故OA⊥FA，在Rt△FAO中，简洁得到|OF|＝2a，∴e＝＝2.

答案：2
16．设e1，e2分别是具有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，O是F1F2的中点，且满足|PO|＝|OF2|，则＝________.
解析：由|PO|＝|OF2|＝|OF1|可知，△PF1F2为直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.又，即，
，
①＋②得a＋a＝2c2.
又e1＝，e2＝，所以＝＝＝＝.
答案：