浙江省绍兴市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题.docx

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，A=，B=，
则右图中阴影部分表示的集合为　　　　　　　　　　　　( )
A． B．
C． D．
2．a+b=0是=成立的 条件 ( )
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D． 既不充分也不必要
3．已知函数，记，，，，则 (　　)
A．10 B．lg110 C．0 D．1
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10:S5＝1:2，则 ( )
A. B. C. D.
5．已知x，y满足则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
6．已知双曲线，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
7．下列命题中，真命题为 　（ ）
A．终边在轴上的角的集合是；
B．在同始终角坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；
C．把函数的图象向右平移个单位得到的图象
D．函数在上是减函数。
8.如图，PA垂直于正方形ABCD所在平面,则以下关系错误的是（　　）
A．平面PCD平面 　　　　　 B．平面PCD平面

C．平面平面PBC　　　　 D．平面平面PAD 　
9.若方程，的根分别为，，则　　　　　　（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8

10．已知，，
且，,，则=　　　　　　　　　　　　( ).
A． B． C．或 D．以上都不对

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为

12．若直线被圆所截得的弦长不小于，则的取值范围是
13．已知x>0，y>0，且，若x＋2y>0恒成立，则实数m的取值范围是
14.若函数可表示成一个偶函数和一个奇函数之和，则= ．

15．右图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，
每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为
，则= .

16．如图，在正三棱锥S—ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，
若侧棱长SA=，则正三棱锥S—ABC的外接球的体积为 .

17.已知中，|AC|=|BC|=2，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点为直径AC上的动点，则的取值范围是 。

三、解答题（本大题共5小题，共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分8分）已知等差数列{}中，，.
（1）求数列{}的通项公式an；
（2）若从数列{}中依次取出第2，4，8，┄，2n，┄项，按原来的挨次排成一个新数列{tn}，试求{tn}的前n项和An ；

19．（本小题满分8分）在非等腰中，角，，的对边分别为，，，且满足
．
（1）求角的大小；
（2）若的面积的取值范围．

20．（本小题满分8分）已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且，
，求的值.

21. （本小题满分8分）设二次函数（，，∈R，）满足：
时，，且恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数的图像与轴交于A，B两点，O为坐标原点，问是否存在实数满足?假如存在,求出k的值，假如不存在，请说明理由.

22．（本小题满分10分）已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点和抛物线
的焦点重合，椭圆与轴的一个交点为，且M是椭圆的右顶点.
（1）求的值；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足（），求点Q的轨迹方程.

绍兴一中2022上学期高三期中考试数学试卷(理)
18. 解析：(Ⅰ)设{an}首项为a1,公差为d,
则,解得 ∴an=5+3(n-1),即an=3n+2 ---------3分
（Ⅱ）设t1=a2,t2=a4,t3=a8, 则 ---------5分
∴An=(3×2+2)+(3×22+2)+…+(3×2n+2)
=3×(2+22+…+2n)+2n
=3×+2n=6×2n-6+2n ---------8分
19．（1）解法一：由余弦定理可知：，去分母可得：

即：
由于三角形为非等腰三角形，故，
故，即，
解法二：由于，
所以，
则，………………（2分）
所以
.
由于不是等腰三角形，所以，
则，所以，因此.………………（4分）
（2）依据余弦定理，有………………（5分）
由于（当且仅当时不等式取等号）
所以 即，………………（6分）
所以的面积
且当时等号取到，又由于不是等腰三角形，所以；
又明显，所以的面积的取值范围是.………………（8分）

20．[解析]
解法一：
（I）如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，
则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）

故异面直线GE与PC所成角的余弦值为.………（4分）
（Ⅱ）设F（0，y , z）

在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则
，∴………………（8分）
解法二：
（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH//EG
交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异
面直线GE与PC所成的角.
在△PCH中，
由余弦定理得，cos∠PCH=
∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为.………………（4分）

（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又由于DF⊥GC
∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM
由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG
由得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=
，∴………………（8分）

21解：（1）令x=-2,则，所以 （2分）
又时，，从而
故可设二次函数 （3分）
对于，，即
则且，化简得，解得
所以函数的解析式为； （4分）
（2）设，
由于，所以A，B确定在y轴的同侧，设A(,0)，B(,0) （5分）

由有， （6分）
又可知是方程的两实数根，
由韦达定理可得，， （7分）
解得，，经检验，符合. （8分）
22.解析：（Ⅰ）由题意解得，所求椭圆方程为 ．,，= -----2分
（Ⅱ）由（）可得
-----3分
方法一：
设点Q、A、B的坐标分别为．
由题可设,则且．
又A，P，B，Q四点共线，从而．
于是 ，
， -----5分
从而
，（1） ，（2）
又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得，
即点的轨迹是直线在椭圆内的部分，方程为． -----10分
方法二：
设点，由题设 =．
又 四点共线，可得,于是
（1）
（2） -----5分
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程
整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得 ，
，
即点的轨迹是直线在椭圆内的部分，方程为． -----10分