辽宁省沈阳二中2022届高三上学期10月月考试题-数学(理)-Word版含答案.docx

沈阳二中2021-2022学年度上学期10月份小班化学习成果
阶段验收　高三（16届）数学(理科)试题
命题人：高三数学组　　 审校人：高三数学组
说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分；
2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的对应位置上
第Ⅰ卷(60分)
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）

1. 已知为两个不相等的实数，表示把M中元素映射到集合N中仍为，则等于（　　）
A．1　　　 B．2 　C．3 D．4

2. 已知向量a、b不共线，cabR),dab,假如cd，那么（　）
A．且c与d同向 B．且c与d反向
C．且c与d同向 D．且c与d反向
3. 等于（　　）
A． B. 2 C. －2 D. ＋2
4. 已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5

5. 已知命题
：函数在R为增函数，　　：函数在R为减函数，则在命题：；　　：；　　：　和　：　中，
真命题是（　　）
A．， B．， C．， （D），
6. 假如函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（　　）
A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

7. 函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．

8. 已知非零向量与满足且　·＝ ，则△ABC为（　　）
A．三边均不相等的三角形 　　B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D． 等边三角形

9.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞” 的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．定义在R上的偶函数满足，当时，，则（　　）
A．　　　B．
C．　　　 D．

11．若，，则＝（　　）
A．2 B．3 C．6 D． 9w

12．在△ABC中，A，B，C所对应边长分别为，若等于AC边上的高，那么
的值是（　　）
A．1 B． C． D．－1.
第Ⅱ卷(90分)
二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .
14．假如，则m的取值范围是_______

15. 设表示不大于的最大整数，集合，，
则 _________________.

16．已知函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“海宝”函数. 给出下列函数：
①；②；③；④
其中是“海宝”函数的序号为 ．

三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
函数的定义域为A，的
定义域为B.
（Ⅰ）求A
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.

18.（本小题满分12分）
已知向量，
函数的最大值为6．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在 上的值域．

19. （本小题满分12分）
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海疆被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.　某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.
（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（Ⅱ）若该船不转变航行方向连续行驶，
推断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

20.（本小题满分12分.）
　 设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点
处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间.

21. （本小题满分12分）
已知在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为.试问：是否存在实数，使得不等式对任意及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

22. （本小题满分12分）
已知函数，其中，为常数.
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数,当x≥2时，有.

沈阳二中2021-2022学年度上学期10月份小班化学习成果阶段验收高三（16届）数学(理科)试题答案
一．1 D 2D 3D 4B 5C 6A 7A 8D 9B 10C
11 C 12A
二．13. 14. 15. 16. ③
三．(17).解:
（Ⅰ）2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1　　即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)…2分
（Ⅱ）由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). …4分
∵BA, ∴2a≥1或a+1≤－1,
即a≥或a≤－2, 而a<1,
∴≤a<1或a≤－2, …8分
故当BA时, 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)…………10分
(18)解：（Ⅰ）＝＝
　　　　　　　　　　　　　＝
由于 ，由题意知 ．…5分

（Ⅱ）由（I）知，
将的图象向左平移个单位后得到
的图象；……………（7分）
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到的图象．
因此， ……………（9分）
由于 ，
所以 ，　　　所以 ，
所以在上的值域为．…………………（12分）
(19)解 :（I）如图，AB=40，AC=10，
由于<<，所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）. ……………5分
（II）
如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q，
在中，由余弦定理得：

从而,
在中，由正弦定理得：
…9分
由于,所以点位于点和点之间，
且,
过 点作于点,则为点到直线的距离.
在中，

所以船会进入警戒水域。……………12分

(20)解：
(Ⅰ)由于
又由于曲线通过点（0，2a+3）,
故
又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故
即-2a+b=0,因此b=2a. ……………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当时，取得最小值-.
此时有……………6分

从而

所以
令，解得……………8分

当
当

当

由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；
单调递增区间为（-2，2）. ……………12分

(21) .解：
（Ⅰ）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①

设(x)=x2－ax－2，
① －1≤a≤1，
∴A={a|－1≤a≤1}. ……………5分

（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0

∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=－2，
从而|x1－x2|==.
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3. ……………7分

要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②……………9分

设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，

② g(－1)=m2－m－2≥0，
g(1)=m2+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.……………12分

(22).解：
（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x＞1}，……………1分
当n=2时，
所以 …………2分
（1）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值. …………3分
（2）当a＞0时，由f(x)=0得 ＞1，＜1，
此时 f′（x）=.
当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；

当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0, f(x)单调递增.

综上所述，n=2时，
当a＞0时，f(x)在处取得微小值，微小值为
当a≤0时，f(x)无极值. ……6分

（Ⅱ）证法一：
由于a=1,所以
当n为偶数时，
令
则 g′（x）=1+＞0（x≥2）.
所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又 g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立，

所以f(x)≤x-1成立. ……9分

当n为奇数时，
要证≤x-1,由于＜0，所以只需证ln(x-1) ≤x-1,
令 h(x)=x-1-ln(x-1),
则 h′（x）=1-≥0（x≥2）,
所以 当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，
所以当x≥2时，恒有h(x) ＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.

综上所述，结论成立. ……12分

证法二：当a=1时，
当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，
故只需证明1+ln(x-1) ≤x-1.
令
则
当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，
因此　　当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.
故　　当x≥2时，有≤x-1.
即f（x）≤x-1. ………………12分