【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：F3平面向量的数量积及应用.docx

F3　平面对量的数量积及应用

【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】12. 若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足，则=　 　．
【学问点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3
【答案】【解析】 解析：=
.
【思路点拨】用表示所求数量积中的向量，再用数量积公式求解.

【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】10、已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则 ( ).
A. B.-1 C.2 D.1

【学问点】指数函数的定点性；向量数量积的坐标运算；导数的应用. B6 F2 F3 B12
【答案】【解析】D 解析：依据题意得B(0，1),设，则
，即函数
有最小值0.由于，所以当a时f(x)无最小值；当a>0时，有时f(x)=0,即，明显a=1是此方程的解，故选D.
【思路点拨】易得B（0,1），设出点P坐标，利用向量数量积德坐标运算，转化为函数最值问题，再利用导数求函数取得最值得条件.

【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）14. 平面对量满足，，则向量与的夹角为
【学问点】平面对量的数量积的运算；向量的夹角；向量的模.F2 F3
【答案】【解析】 解析：，
，又，，所以，
所以向量与的夹角为，故答案为。
【思路点拨】先依据已知条件结合向量的夹角公式计算出，再求夹角即可。

【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】10.O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三点，若，则△ABC是( )
A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形
C.以AB为斜边的直角三角形 D.以BC为斜边的直角三角形
【学问点】平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】B 由题意知-2)=，如图所示
其中（点D为线段BC的中点），所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．故答案为“B.
【思路点拨】首先把2拆开分别与组合，再由向量加减运算即可整理，然后依据
（点D为线段BC的中点），并结合图形得出结论．

【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】4.设向量，向量，向量，则向量（ ）
A．（－15，12） B.0 C.－3 D.－11
【学问点平面对量的数量积及应用F3
【答案解析】C 依题意：∵=（1，-2），=（-3，4），+2=（1，-2）+2（-3，4）=（-5，6）
∵=（3，2），∴(+2)•=（-5，6）•（3，2）=-5×3+6×2=-3故答案为C
【思路点拨】利用向量的坐标运算求出相应向量的坐标，在进行数量积的运算．

【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】8、已知直线与圆交于不同的两点是坐标点，且有，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【学问点】向量及向量的模.F3
【答案】【解析】B 解析：设AB的中点为D，则直线与圆交于不同的两点A，B，所以答案为B.
【思路点拨】依据向量及向量模的运算可找到正确结果.

【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】4.平面对量，的夹角为，，， 则（ ）
A． B． C． D．
【学问点】平面对量数量积的运算．F3
【答案】【解析】A 解析：由,得；又由于平面对量，的夹角为，，所以依据已知条件可得：．故选A．
【思路点拨】依据已知条件可求出，又知夹角以及，从而能求出。

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】14.已知正方形的边长为，是正方形的外接圆上的动点，则的最大值为 _______________.
【学问点】向量的数量积，圆的方程 F3 H3
【答案】【解析】 解析：以正方形的中心为坐标原点，平行于为 轴，平行于 为 轴建立直角坐标系，则 点 在圆 上，设 则 ， ，
即的最大值为 .
【思路点拨】以正方形的中心为坐标原点建立适当的坐标系，写出坐标以及利用数量积求解。

【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】8.若向量a与向量b的夹角为60°，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为C　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
【学问点】向量的模；平面对量数量积的运算.F2 F3
【答案】【解析】C 解析：（a+2b）•（a﹣3b）
=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2
=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，
∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．
∴（|a|﹣6）•（|a|+4）=0．
∴|a|=6．
故选C
【思路点拨】分解（a+2b）•（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，由于向量的夹角、已知，代入可得关于的方程，解方程可得．

【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】12、设，向量，若，则_______.
【学问点】平面对量数量积的运算．F3
【答案】【解析】 解析：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，，
∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案为：．
【思路点拨】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ。

【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】4. 在中，，，是边上的高，则的值等于（ ）
A． B． C． D．9
【学问点】平面对量数量积的运算．F3
【答案】【解析】C 解析：分别以BC，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示平面直角坐标系；

依据已知条件可求以下几点坐标：A，D，C；
∴，；∴．故选C．
【思路点拨】依据已知条件可以分别以BC，DA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，而依据已知的边长及角的值可求出向量，的坐标，依据数量积的坐标运算即可求出．

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】18. （本小题12分） 已知向量=（），=（,）,
,函数，其最小正周期为.
（1）求函数的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．
【学问点】向量的数量积 三角函数的性质 解三角形F3 C3 C8
【答案】【解析】(1) ，单调递增区间为；
(2) .
解析：(1) 由于，由于最小正周期为，所以，得，所以，由,得，所以函数的单调递增区间为；
(2)由于，所以，则，得c=4，所以.
【思路点拨】一般争辩与三角相关的函数的性质通常先把函数化成一个角的三角函数再进行解答，再解三角形中可运用三角形面积公式及余弦定理进行解答.

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】9．在中,是边上的高，则的值等于（　 ）
A．0 B．4 C．8 D．
【学问点】向量的数量积 向量的减法F1 F3
【答案】【解析】B 解析：由于是边上的高，所以∠BAD=60°，AD=2，则，所以选B.
【思路点拨】先利用向量的减法运算，把向量向已知条件进行转化，再利用向量的数量积计算公式计算，留意向量的夹角与三角形的内角的关系.

【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】20. （本题满分13分） 已知。函数 且.
（1）求的解析式及单调递增区间；
（2）将的图像向右平移单位得的图像，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【学问点】平面对量数量积 三角函数的图像与性质 恒成立问题F3 C3
【答案】【解析】（1） 递增区间为； （2）.
解析：解 （1） 1 分
由，知函数的图像关于直线对称， 2分
所以，又，所以 4分
即
所以函数的递增区间为； 5分
（2）易知 6分
即在上恒成立。
令

由于，所以 8分
当，在上单调递减，
，满足条件；
当，在上单调递增，
，不成立；
③ 当时，必存在唯一，使在上递减，在递增，故只需， 解得； 12分
综上，由①②③得实数的取值范围是：. 13分
另解：由题知：
∴
即在x∈[0,]上恒成立
也即在x∈[0,]上恒成立
令，
如图：的图象在图象的下方，
则：故.
【思路点拨】依据可得函数的对称轴为，所以，在依据其范围，求得，利用三角函数的性质以及整体思想求得函数的单调第增区间，由图像的平移可得，若在上恒成立，可得在上恒成立.

【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】20. （本题满分13分） 已知。函数 且.
（1）求的解析式及单调递增区间；
（2）将的图像向右平移单位得的图像，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【学问点】平面对量数量积 三角函数的图像与性质 恒成立问题F3 C3
【答案】【解析】（1） 递增区间为； （2）.
解析：解 （1） 1 分

由，知函数的图像关于直线对称， 2分
所以，又，所以 4分
即
所以函数的递增区间为； 5分
（2）易知 6分
即在上恒成立。
令

由于，所以 8分
当，在上单调递减，
，满足条件；
当，在上单调递增，
，不成立；
③ 当时，必存在唯一，使在上递减，在递增，故只需， 解得； 12分
综上，由①②③得实数的取值范围是：. 13分
另解：由题知：
∴
即在x∈[0,]上恒成立
也即在x∈[0,]上恒成立
令，
如图：的图象在图象的下方，
则：故.
【思路点拨】依据可得函数的对称轴为，所以，在依据其范围，求得，利用三角函数的性质以及整体思想求得函数的单调第增区间，由图像的平移可得，若在上恒成立，可得在上恒成立.