1、
双基限时练(十七) 函数的零点
基 础 强 化
1．若一次函数y＝kx＋b的零点为x＝2，则的值为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析 由题意可知，2k＋b＝0，∴＝－2.
答案 A
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
解析 函数没有零点⇔函数的图象与x轴没有交点．
答案 D
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，ac<0，则函数的零点个数是( )
A．1 B．2
C．0 D．无法确定
解析 ∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0.
∴该函数肯定有两个零点．
答案 B
4．若函数f(x)＝x2－
2、ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点为( )
A.， B．－，－
C．－，1 D.，－1
解析 由于2和3是f(x)的两个零点，
∴a＝2＋3＝5，－b＝2×3，∴b＝－6.
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
令g(x)＝0，则x＝－，或x＝－.
答案 B
5．假如二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，那么m的取值范围是( )
A．(－2,6) B．
C．{－2,6} D．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
解析 Δ＝m2－4(m＋3)＝m2－4m－12>0，
令f(m)＝m2－4m－12，
令f(m)＝0，则
3、m＝－2，或m＝6.
∵函数f(m)是开口向上的二次函数，
∴f(m)>0的解集为(－∞，－2)∪(6，＋∞)．
答案 D
6．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点个数为( )
A．1003 B．1004
C．2006 D．2007
解析 由于f(x)是奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有 1 003个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1003个．因此f(x)的零点共有1003＋1003＋1＝2007 (个)．
答案 D
7．直线y＝3与函数y＝|x2－6x|的图象的交点个数为________．
4、
解析 在同一坐标系中作出y＝3与y＝|x2－6x|的图象，如图所示：
由图可知，直线y＝3与函数y＝|x2－6x|的图象有4个交点．
答案 4
8．设函数f(x)＝又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是________．
解析 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x－2，令g(x)＝0，得x＝1；当x<0时，g(x)＝x2－4－1＝x2－5，
令g(x)＝0，得x＝±(正值舍去)，则x＝－.
∴g(x)的零点为1，－.
答案 1，－
能 力 提 升
9．已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a－2的一个零点小于1，另一个零点在区间(1,2)内，则a的取值范围
5、为________．
解析 ∵f(x)是开口向上的二次函数，且它的零点一个小于1，一个在(1,2)内，
∴得到f(x)的大致图象为
∴即
∴06、法一：当x≥0时，令f(x)＝0，得x＋1＝0，
解得x＝－1，与x≥0冲突；
当x<0时，令f(x)＝0，得x－1＝0，
解得x＝1，与x<0冲突
所以函数f(x)＝没有零点．
法二：画出函数y＝f(x)＝的图象，如图所示．
由于函数图象与x轴没有公共点，
故f(x)＝没有零点．
11．已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1.
(1)m为何值时，函数图象与x轴有一个交点；
(2)假如函数的一个零点为2，求m的值．
解 (1)当m－1＝0，即m＝1时，f(x)＝－4x＋1，满足函数图象与x轴有一个交点．
当m－1≠0，即m≠1时，
Δ＝16m2－8(
7、m－1)(2m－1)＝0，∴m＝.
∴当f(x)的图象与x轴有一个交点时，m＝1或m＝.
(2)由题意可知，f(2)＝0，
∴8(m－1)－8m＋2m－1＝0.
∴m＝.
12．已知函数f(x)＝ax2＋2(a＋1)x＋a－1.
(1)求a为何值时，函数的图象与x轴有两个交点；
(2)假如函数的一个零点在原点，求a的值．
解 (1)若函数的图象与x轴有两个交点，则已知函数为二次函数，且方程f(x)＝0有两个不相等的实数根，于是有a≠0，Δ>0.
又Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)>0，即a>－，所以满足题意的实数a的取值范围为(－，0)∪(0，＋∞)．
(2)假如函数的一个零点在原点，即x＝0是方程f(x)＝0的一个根，易得a－1＝0，解得a＝1.
品 味 高 考
13．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 令f(x)＝0，即2x2＋bx－3＝0，∴Δ＝b2－4×(－3)×2＝b2＋24≥24>0.∴函数有2个零点．
答案 C
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