2021届高考物理二轮复习综合讲义：专题四-万有引力定律及其应用(导学导练-含详解).docx

万有引力定律及其应用

热点一　万有引力定律的应用
命题规律：万有引力定律的应用在高考中也时有考查．题型主要为选择题，命题角度有以下几点：
(1)利用补偿法求万有引力的大小．
(2)结合比例运算求解重力加速度等问题．
(3)考查重力与万有引力的关系的应用．

1.(2022·南昌高三调研)我国于2021年成功放射携带月球车的“嫦娥三号”卫星，并将月球车软着陆到月球表面进行勘察．假设“嫦娥三号”卫星绕月球做半径为r的匀速圆周运动，其运动周期为T，已知月球的半径为R，月球车的质量为m，则月球车在月球表面上所受到的重力为(　　)

A. B.
C. D.
[解析]　“嫦娥三号”卫星绕月球做半径为r的匀速圆周运动，有＝m′r；月球车在月球表面上所受到的重力等于其受到的万有引力，则F＝，联立可得：F＝，选项D正确，选项A、B、C错误．
[答案]　D
2.(2022·潍坊模拟)据报道，美国耶鲁高校的争辩人员发觉了一颗完全由钻石组成的星球，通过观测发觉该星球的半径是地球的2倍，质量是地球的8倍．设在该星球表面四周绕星球运行的卫星的角速度为ω1、线速度为v1，在地球表面四周绕地球运行的卫星的角速度为ω2、线速度为v2，则为(　　)

A．8 B．4
C．2 D．1
[解析]　该星球与地球表面的重力加速度之比为：＝＝2，近地卫星的向心加速度等于星球表面的重力加速度，即＝＝＝2，故C正确．
[答案]　C
3.(多选)为了探寻金矿区域的位置和金矿储量，常利用重力加速度反常现象．如图所示，P点为某地区水平地面上的一点，假定在P点正下方有一空腔或密度较大的金矿，该地区重力加速度的大小就会与正常状况有微小偏离，这种现象叫做“重力加速度反常”．假如球形区域内贮存有金矿，已知金矿的密度为ρ，球形区域四周均匀分布的岩石密度为ρ0，且ρ＞ρ0.又已知引力常量为G，球形空腔体积为V，球心深度为d(远小于地球半径)，则下列说法正确的是(　　)
A．有金矿会导致P点重力加速度偏小
B．有金矿会导致P点重力加速度偏大
C．P点重力加速度反常值约为Δg＝G
D．在图中P1点重力加速度反常值大于P点重力加速度反常值
[解析]　由于金矿对地球表面物体的引力大，所以有金矿会导致P点重力加速度偏大，即B正确，A错误；依据万有引力定律可知P点重力加速度反常值约为Δg＝G，即C正确；由于P1点较远，所以在图中P1点重力加速度反常值小于P点重力加速度反常值，即D错误．
[答案]　BC
[总结提升]　万有引力定律公式只适用于计算质点间的相互作用，故求一般物体间的万有引力时，应把物体进行分割，使之能视为质点后再用F＝G求质点间的各个作用力，最终求其合力.对于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可用万有引力定律的公式来计算，式中的r是两个球体球心间的距离；一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用公式F＝G计算，式中r是球体球心到质点的距离.对于一般状况物体间的万有引力中学阶段无法求解，但某些特殊状况下我们应用“补偿法”可以求出其万有引力的大小.)
热点二　天体质量和密度的计算
命题规律：天体质量和密度的计算问题是近几年来高考的热点．命题规律一般体现在以下两个方面：
(1)结合星球表面重力加速度考查．
(2)结合卫星绕中心天体做圆周运动考查．

1.一卫星绕某一行星表面四周做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C. D.
[解题指导]　解答本题时应明确以下两点：
(1)在行星表面四周做匀速圆周运动的物体轨道半径约等于行星半径．
(2)万有引力(约等于重力)供应向心力．
[解析]　由N＝mg，得g＝，据G＝mg和G＝m得M＝，故选B.
[答案]　B
2.天文学家新发觉了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为(　　)
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
[解析]　近地卫星绕地球做圆周运动，所受万有引力充当其做圆周运动的向心力，则G＝m2R，由密度、质量和体积关系有M＝ρπR3，解得ρ＝≈5.6×103 kg/m3，由已知条件可知该行星密度是地球密度的倍，即ρ行＝5.6×103× kg/m3＝2.98×104 kg/m3，选项D正确．
[答案]　D
3.(2022·高考新课标全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．
[答案]　B

热点三　人造卫星的定轨问题

命题规律：人造卫星问题始终是近几年高考的热点，命题规律主要是结合圆周运动规律、万有引力定律进行考查：
(1)考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的计算．
(2)考查不同轨道卫星各个物理量的比较．
(3)结合宇宙速度考查．

1.(2022·合肥质检)“北斗”系统中两颗工作卫星1和2在同一轨道上绕地心O沿顺时针方向做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻它们分别位于轨道上的A、B两位置，如图所示．已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．以下推断中正确的是(　　)
A．这两颗卫星的向心加速度大小为a＝g
B．这两颗卫星的角速度大小为ω＝R
C．卫星1由位置A运动至位置B所需的时间为t＝
D．假如使卫星1加速，它就确定能追上卫星2
[解析]　卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，即：G＝ma，由万有引力与重力关系，G＝mg，解两式得：a＝g，A项错；由a＝ω2r，将上式代入得：ω＝，B项错；卫星1由位置A运动到位置B所需时间为卫星周期的，由T＝t＝，C项正确；卫星1加速后做离心运动，进入高轨道运动，不能追上卫星2，D项错．
[答案]　C
2.(2022·高考天津卷)争辩表明，地球自转在渐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，将来人类放射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
[解析]　同步卫星运行周期与地球自转周期相同，由G＝m(R＋h)·2有h＝－R，故T增大时h也增大，A正确．同理由＝ma＝m＝m(R＋h)ω2可得a＝、v＝、ω＝，故h增大后a、v、ω都减小，B、C、D皆错误．
[答案]　A
3.(2022·高考福建卷)若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(　　)
A.　倍 B.倍
C.倍 D.　倍
[解析]　设地球质量为M，半径为R，依据＝m得地球卫星的环绕速度为v＝，同理该“宜居”行星卫星的环绕速度为v′＝，故v′为地球卫星环绕速度的倍．选项C正确．
[答案]　C
[总结提升]　人造卫星的an、v、T、ω与r的关系
(1)做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全供应卫星所需的向心力，由＝＝mrω2＝mr＝man可推导出
⇒当r增大时，
(2)当r＝R地时，

对卫星变轨问题的考查

命题规律：卫星或航天器的变轨问题是高考热点，估量命题角度有以下几点：(1)放射过程中的变轨问题，考查卫星的速度、周期、加速度．(2)考查航天器对接过程中的轨道把握．(3)考查变轨前后的速度、周期及机械能的比较．

[解析]　卫星在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿其次定律得G＝m，卫星在2轨道A点做离心运动，则有G＜m，故v1＜v2A，选项A正确；卫星在2轨道B点做近心运动，则有G＞m，若卫星在经过B点的圆轨道上运动，则G＝m，由于r＜rB，所以v1＞vB，故v2B＜vB＜v1＝7.7 km/s，选项B正确；3轨道的高度大于2轨道的高度，故卫星在3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，选项C错误；卫星在各个轨道上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在A点时重力势能最小，动能最大，速率最大，故卫星在3轨道所具有的最大速率大于2轨道所具有的最大速率，选项D错误．
[答案]　AB
[总结提升]　(1)卫星从一个稳定轨道变到另一稳定轨道，称为变态，即变轨问题，此过程不满足F向＝F万，应结合离心运动和近心运动的学问以及能量守恒定律去解决．即假设当卫星速度减小时F向＜F万，卫星做近心运动而下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反．
(2)天体运动的机械能与轨道是一一对应的不同的轨道对应着不同的机械能，要转变轨道必需转变天体的机械能．

最新猜想1　(多选)我国将来将建立月球基地，并在绕月轨道上建筑空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是(　　)
A．图中航天飞机正加速飞向B处
B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必需点火减速
C．依据题中条件可以算出月球质量
D．依据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小
解析：选ABC.航天飞机飞向B处时，月球引力做正功，所以正在加速，即选项A正确；假设航天飞机在B处不减速，将连续在原来的椭圆轨道运动，所以必需点火减速，所以选项B正确；由G＝mr得月球的质量M＝，所以选项C正确；由于空间站的质量不知道，不能算出空间站受到月球引力的大小，所以选项D错误．
最新猜想2　(多选)2021年12月2日，我国探月卫星“嫦娥三号”在西昌卫星放射中心成功放射升空，飞行轨道示意图如图所示．“嫦娥三号”从地面放射后奔向月球，先在轨道Ⅰ上运行，在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的近月点，则“嫦娥三号”在轨道Ⅱ上(　　)

A．运行的周期小于在轨道Ⅰ上运行的周期
B．从P到Q的过程中速率不断增大
C．经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过P的速度
D．经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过P的加速度
解析：选ABC.依据开普勒第三定律＝k，可推断“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅱ上的运行周期小于在轨道Ⅰ上的运行周期，A正确；由于P点是远地点，Q是近地点，故从P点到Q点的过程中速率不断增大，B正确；依据卫星变轨特点可知，卫星在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ要减速，C正确；依据牛顿其次定律和万有引力定律可推断在P点，卫星的加速度是相同的，D错．
[失分防范]　(1)卫星变轨时半径的变化，依据万有引力和所需向心力的大小关系推断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v＝)推断.变轨前后的速度较易发生误判.
(2)航天器在同一轨道上稳定运行过程中机械能守恒.,(3)同一航天器在不同轨道上稳定运行过程中，机械能不同，轨道半径越大，动能越小，机械能越大.)

一、选择题
1．(2021·高考上海卷)小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动．则经过足够长的时间后，小行星运动的(　　)

A．半径变大 B．速率变大
C．角速度变大 D．加速度变大
解析：选A.因恒星质量M减小，所以万有引力减小，不足以供应行星所需向心力，行星将做离心运动，半径R变大，A项正确，再由v＝，ω＝，a＝可知，速率、角速度、加速度均变小，故B、C、D均错误．
2．(2022·高考浙江卷)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发觉两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于(　　)
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
解析：选B.依据开普勒第三定律得＝，所以T2＝T1≈25天，选项B正确，选项A、C、D错误．
3．(2021·高考大纲全国卷)“嫦娥一号”是我国首次放射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为(　　)
A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg
解析：选D.设探月卫星的质量为m，月球的质量为M，依据万有引力供应向心力G＝m2(R＋h)，将h＝200 000 m，T＝127×60 s，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，R＝1.74×106 m，代入上式解得M＝7.4×1022 kg，可知D选项正确．
4．(2022·高考江苏卷)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面四周绕火星做匀速圆周运动的速率约为(　　)
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
解析：选A.由G＝m得，对于地球表面四周的航天器有：G＝，对于火星表面四周的航天器有：G＝，由题意知M′＝M、r′＝，且v1＝7.9 km/s，联立以上各式得v2≈3.5 km/s，选项A正确．
5．(2022·南通二模)我国古代神话中传奇，地上的“凡人”过一年，天上的“神仙”过一天．假如把看到一次日出就当作“一天”，某卫星的运行半径为月球绕地球运行半径的，则该卫星上的宇航员24 h内在太空中度过的“天”数约为(已知月球的运行周期为27天)(　　)
A．1 B．8
C．16 D．24
解析：选B.依据天体运动的公式G＝m2R得＝，解得卫星运行的周期为3 h，故24 h内看到8次日出，B项正确．
6．(2022·潍坊模拟)某月球探测卫星先贴近地球表面绕地球做匀速圆周运动，此时其动能为Ek1，周期为T1；再把握它进行一系列变轨，最终进入贴近月球表面的圆轨道做匀速圆周运动，此时其动能为Ek2，周期为T2.已知地球的质量为M1，月球的质量为M2，则为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.卫星绕地球做匀速圆周运动，G＝m＝m2R1，Ek1＝mv＝G，T1＝2π；同理卫星绕月球做匀速圆周运动，G＝m＝m2R2，Ek2＝mv＝G，T2＝2π，解各式得：＝，＝，解两式得：＝ ，C项正确．

7．(多选)(2022·高考广东卷)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是(　　)
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径， 可得到星球的平均密度
解析：选AC.设星球质量为M，半径为R，飞行器绕星球转动半径为r，周期为T.由G＝mr知T＝2π，r越大，T越大，选项A正确；由G＝m知v＝，r越大，v越小，选项B错误；由G＝mr和ρ＝得ρ＝，又＝sin，所以ρ＝，所以选项C正确，D错误．

8．(多选)(2022·浙江省六校联考)如图所示，卫星由地面放射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道，开头对月球进行探测(　　)
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．卫星在轨道Ⅲ上的运动周期比在轨道Ⅰ上短
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多
解析：选ACD.由题图知，rⅠ＞rⅡ＞rⅢ＞r月，由万有引力定律、牛顿其次定律得，v＝，T＝，卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，选项A正确；卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时小，选项B错误；卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短，选项C正确；卫星从轨道Ⅰ运动到轨道Ⅱ要靠人为把握减速实现，故卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多，选项D正确．
9．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，若要使卫星的周期变为2T，可以实行的方法是(　　)
A．R不变，使线速度变为v/2
B．v不变，使轨道半径变为2R
C．使轨道半径变为R
D．使卫星的高度增加R
解析：选C.对于卫星的运动，当R确定时，卫星的线速度v＝确定，周期T＝2π确定，所以只有当轨道半径变为R时，卫星的运动周期才可变为2T，即C选项正确．

10．如图所示，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M(M≫m1，M≫m2)．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k；从图示位置开头，在b运动一周的过程中，则(　　)
A．a、b距离最近的次数为k次
B．a、b距离最近的次数为(k＋1)次
C．a、b、c共线的次数为2k次
D．a、b、c共线的次数为(2k－2)次
解析：选D.在b转动一周过程中，a转过了k圈，假设b不动，则a转过了(k－1)圈，所以a、b距离最远的次数为(k－1)次，a、b距离最近的次数为(k－1)次，故a、b、c共线的次数为(2k－2)次，所以选项D正确．
二、计算题
11．据人民网报道，北京时间2021年12月6日17时53分，“嫦娥三号”探测器成功实施近月制动，顺当进入环月轨道．探测器环月运行轨道可视为圆轨道．已知探测器环月运行时可忽视地球及其他天体的引力，轨道半径为r，运动周期为T，引力常量为G.求：
(1)探测器绕月运行的速度的大小；
(2)探测器绕月运行的加速度的大小；
(3)月球的质量．
解析：(1)探测器绕月运行的速度的大小v＝.
(2)探测器绕月运行的加速度的大小a＝2r.
(3)设月球质量为M，“嫦娥三号”探测器的质量为m，探测器运行时月球对它的万有引力供应向心力，依据万有引力定律和牛顿其次定律有＝m2r
可得M＝.
答案：(1)　(2)2r　(3)
12．设想宇航员完成了对火星的考查，乘坐返回舱返回绕火星做圆周运动的轨道舱，为了平安，返回舱与轨道舱对接时必需具有相同的速度，已知返回舱返回时需要克服火星的引力做功为W＝mgR，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g，火星的半径为R，轨道舱中心到火星中心的距离为r，不计火星表面的空气及火星自转的影响，则宇航员乘坐返回舱从火星表面返回轨道舱至少需要获得多少能量？
解析：宇航员与返回舱在火星表面上有：G＝mg，设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则G＝m0 ，宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时必需具有的动能Ek＝mv2＝，返回舱返回时需要克服火星的引力做功为W＝mgR，宇航员乘坐返回舱返回轨道舱至少需要的能量E＝Ek＋W＝＋mgR.
答案：＋mgR