2022届数学一轮(理科)人教B版-课时作业-11-2-第十一章-计数原理.docx

第2讲　排列与组合
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 (　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
解析　先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A＝24(种)放法，故选D.
答案　D
2．(2022·四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 (　　)
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
解析　若最左端排甲，其他位置共有A＝120(种)排法；若最左端排乙，最右端共有4种排法，其余4个位置有A＝24(种)排法，所以共有120＋4×24＝216(种)排法．
答案　B
3．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 (　　)
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
解析　共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C＋C＋CC＝66(种)．
答案　D

4．将甲、乙、丙、丁四名同学分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名同学不能分到同一个班，则不同分法的种数为 (　　)
A．18 B．24 C．30 D．36
解析　四名同学中有两名同学恰好分在一个班，共有CA种分法，而甲、乙被分在同一个班的有A种，所以不同的分法种数是CA－A＝30.
答案　C
5．在航天员进行的一项太空试验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能消灭在第一或最终一步，程序B和C在实施时必需相邻，问试验挨次的编排方法共有 (　　)
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
解析　程序A有A＝2(种)结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有AA＝48(种)，∴由分步乘法计数原理，试验编排共有2×48＝96(种)方法．
答案　C
二、填空题
6．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高渐渐降低，共有________种排法．
解析　先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于挨次肯定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为C＝20(种)．
答案　20
7．若把英语单词“good”的字母挨次写错了，则可能消灭的错误方法共有________种．
解析　把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；其次步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为A＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共A－1＝12－1＝11(种)．
答案　11
8．(2022·北京卷)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解析　记5件产品为A、B、C、D、E，A、B相邻视为一个元素，先与D、E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36(种)不同的摆法．
答案　36
三、解答题
9．由1，2，3，4，5五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12345，第2项是12354，…直到末项(第120项)是54321.问：43251是第几项？
解　比43251大的数有下列几类：
①万位数是5的有A＝24个；
②万位数是4、千位数是5的有A＝6个；
③万位数是4、千位数是3、百位数是5的有A＝2个；所以比43251大的数共有A＋A＋A＝32个，
所以43251是第120－32＝88项．
10．从5名男生和3名女生中选5人担当5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数：
(1)女生必需少于男生；
(2)女生甲担当语文课代表；
(3)男生乙必需是课代表，但不担当数学课代表．
解　(1)先从8名同学中任选5名，共有C(种)选法，其中女生比男生多的状况有：选2名男生和3名女生，共有C·C(种)选法，所以女生少于男生的选法为(C－C·C)(种)；再让选出的5名同学分别担当5门不同学科的课代表，有A(种)方法．
由分步乘法计数原理知，共有(C－C·C)·A＝5 520(种)不同的方法．
(2)从剩余7人中选出4人分别担当另4门不同学科的课代表，共有C·A＝840(种)不同的方法．
(3)先支配男生乙，即从除数学外的另4门学科中选1门让男生乙担当其课代表，再从剩下的7人中选4人担当另外4门学科的课代表，共有C·A＝
3 360(种)不同的方法．
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

11．某外商方案在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 (　　)
A．16种 B．36种
C．42种 D．60种
解析　法一(直接法)　若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法．由分类加法计数原理知共A＋CA＝60(种)方法．
法二(间接法)　先任意支配3个项目，每个项目各有4种支配方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．
答案　D
12．(2022·重庆卷)某次联欢会要支配3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出挨次，则同类节目不相邻的排法种数是 (　　)
A．72 B．120 C．144 D．168
解析　先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A·A＝144种，再剔除小品类节目相邻的状况，共有A·A·A＝24种，于是符合题意的排法共有144－24＝120种．
答案　B
13．(2021·杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．
解析　分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C种；而后，对三组同学全排三所学校，即进行全排列，有A种．依分步乘法计数原理，共有N＝CA＝36(种)．
答案　36
14．某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语，若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中3个队要支配会英语的导游，2个队要支配会日语的导游，则不同的支配方法共有多少种？
解　依题意，导游中有5人只会英语，3人只会日语，一人既会英语又会日语．
按只会英语的导游分类：
①3个英语导游从只会英语人员中选取，则有A×A＝720(种)．
②3个英语导游从只会英语的导游中选2名，另一名由既会英语又会日语的导游担当，则有CA·A＝360(种)．
故不同的支配方法共有
A×A＋C×A×A＝1 080(种)．
所以不同的支配方法共有1 080种.