《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修2)教师用书：4.5空间直角坐标系-讲义.docx

第5课时　空间直角坐标系

1.了解空间直角坐标系及空间两点间的距离公式.
2.会用空间直角坐标系刻画点的位置,即能由点的位置写出坐标及由坐标描出点的位置.
3.能利用空间两点的坐标求出两点间的距离.

重点:(1)空间直角坐标的构成、画法及点的坐标;(2)空间两点间的距离与中点坐标的计算,并将此与平面直角坐标系中的距离公式,中点公式相比较.
难点:确定点在空间直角坐标系中的坐标.

三楼屋顶有一蜂窝,住户报119,消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢,但水枪有效射程只有20米,而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边,若屋的长、宽、高分别为15米、10米4.2米,蜂巢能被击落吗?

问题1:空间直角坐标系
(1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标　原点　,x轴、y轴、z轴叫作　坐标轴　.通过每两个坐标轴的平面叫作　坐标平面　,分别称为　xOy　平面、　yOz　平面、　zOx　平面. 
(2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=　45°或135°　,∠yOz=90°. 
(3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是　一一对应　的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作　M(x,y,z)　,其中x叫作点M的　横坐标　,y叫作点M的　纵坐标　,z叫作点M的　竖坐标　. 
(4)说明:本书建立的坐标系都是　右　手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向　x　轴的正方向,食指指向　y　轴的正方向,假如中指指向　z　轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.  
问题2:空间两点间的距离公式
(1)公式:空间中任意两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|= 　,特殊地,任一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|= 　. 
(2)说明:留意此公式与两点的先后挨次无关.空间两点间的距离公式可以看成平面内两点间距离公式的推广.
问题3:情境中要知蜂巢能否被击落,实质上就是比较消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小,这个问题可以通过立体几何的学问可以解决,但我们想换一种思维即接受代数的方法,借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的　距离　,我们就可以解决上面的这个实际应用题. 
问题4:假如|OP|是定长r,那么方程x2+y2+z2=r2表示的图形是　以原点为圆心,以r为半径的球面　. 

除了空间直角坐标系外,还有很多坐标系.如极坐标系.在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系.在平面上取定一点O,称为极点.从O动身引一条射线Ox,称为极轴.再取定一个长度单位,通常规定角度取逆时针方向为正.这样,平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定,有序数对(ρ,θ)就称为P点的极坐标,记为P(ρ,θ);ρ称为P点的极径,θ称为P点的极角.当限制ρ≥0,0≤θ<2π时,平面上除极点Ο以外,其他每一点都有唯一的一个极坐标.极点的极径为零,极角任意.若除去上述限制,平面上每一点都有很多多组极坐标与之对应.一般地,假如(ρ,θ)是一个点的极坐标,那么(ρ,θ+2nπ),(-ρ,θ+2n+1)π)都可作为它的极坐标,这里n取任意整数.

1.点P(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是(　　).
A.在y轴上　　　　　　　B.在xOy平面上
C.在xOz平面上 D.在yOz平面上
【解析】 点P(2,0,3)在xOz平面上.故选C.
【答案】C
2.点A是点P(1,2,3)在平面yOz内的射影,则|OA|等于(　　).
A.　　　B.　　　C.2　　　D.
【解析】 ∵点P在yOz内射影为A(0,2,3),∴|OA|==.故选B.
【答案】B
3.在xOy平面内有两点A(-2,4,0),B(3,2,0),则AB的中点坐标是　　　　. 
【解析】 由中点坐标公式得AB的中点坐标为(,,0),即(,3,0).
【答案】(,3,0)
4.在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使点M到点N(6,5,1)的距离最小.
【解析】 由已知,可设M(x,1-x,0),
则|MN|==≥.
∴当x=1,y=0时,|MN|min=.∴点M坐标为(1,0,0).

确定空间内点的坐标

如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AD=3,AB=5,AA1=4,建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标.
　　【方法指导】依据长方体的特征,建立适当的空间直角坐标系,对于特殊点,可直接写出坐标,对于非特殊点,可找出它在坐标平面上的射影以确定其横、纵、竖坐标.

【解析】 如图,以DA所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.
　　∵长方体的棱长AD=3,DC=AB=5,
DD1=AA1=4,
明显D(0,0,0),A在x轴上,
∴A(3,0,0);
C在y轴上,∴C(0,5,0);
D1在z轴上,∴D1(0,0,4);
B在xOy平面内,∴B(3,5,0);
A1在xOz平面内,∴A1(3,0,4);
C1在yOz平面内,∴C1(0,5,4).
由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0),
∴B1的横坐标为3,纵坐标为5,
∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4),
∴B1的竖坐标为4,
∴B1(3,5,4).
【小结】(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则:
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.

空间中两点之间的距离
如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,求B1E的长.

【方法指导】建立适当的空间直角坐标系,求出点B1、E的坐标,再利用空间两点间的距离公式求B1E的长.
【解析】 如图,以点D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

则D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0),设点E的坐标为(x,y,0),
在坐标平面xOy内,直线AC的方程为+=1,
即2x+y-4=0,
∵DE⊥AC,∴直线DE的方程为x-2y=0.
由得
∴E(,,0).
∴|B1E|==,
即B1E的长为.
【小结】通过建立空间直角坐标系,将“数”与“形”结合起来;本题求点E的横坐标、纵坐标还可以在Rt△ACD中利用直角三角形的有关学问求解.

正确建立空间直角坐标系

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,全部的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.
【方法指导】依据已知条件,充分利用几何体的性质,建立适当的空间直角坐标系.

【解析】 如图(1),分别以AB,AC,AA1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,明显A(0,0,0),又∵各棱长均为1,且B、C、A1均在坐标轴上,
∴ B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1,C1分别在xOz平面和yOz平面内,
∴B1(1,0,1),C1(0,1,1),∴各点坐标为A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,1,1).
[问题]上面建立的空间直角坐标系中,∠BAC=90°吗?
[结论]由于三棱柱各棱长均为1,所以△ABC为正三角形,即∠BAC=60°,即错解建立的坐标系中∠xOy≠90°.故本题做错的缘由在于建系时没有抓住空间直角坐标系中三个坐标轴两两垂直的本质.建系时应选取从一点动身的三条两两垂直的线做为坐标轴.假如没有满足条件的直线,可以让某一条坐标轴“悬空”.
于是,正确解答如下:

取AC的中点O和A1C1的中点O1,可得BO⊥AC,分别以OB, OC, OO1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
∵三棱柱各棱长均为1,∴ OA=OC=O1C1=O1A1=,OB=,
∵A、B、C均在坐标轴上,
∴A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0),
点A1(0,-,1),C1(0,,1),
点B1在xOy面内射影为B,且BB1=1.
∴B1(,0,1),
∴各点的坐标为A(0,-,0),B(,0,0),C(0,,0),
A1(0,-,1),B1(,0,1),C1(0,,1).
【小结】求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系,建系时要留意坐标轴必需相交于同一点且两两垂直,并符合右手法则.

如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点棱长为1,求E,F点的坐标.

【解析】E点在xDy平面上的射影为B(1,1,0),竖坐标为,
∴E(1,1,).
F点在xDy平面上的射影为BD的中点G(,,0),竖坐标为1,∴F(,,1).

如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点,点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试求MN的长.
【解析】以D为原点,以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由于正方体棱长为a,
所以B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).

取A1C1中点O,由于M为BD1的中点,

所以M(,,),O(,,a).
由于|A1N|=3|NC1|,所以N为A1C1的四等分点,从而N为OC1的中点,故N(,,a).
依据空间两点间距离公式,得|MN|==a.

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD,∠PDA=30°,AE⊥PD于E.试建立适当的坐标系,求出各点的坐标.

【解析】如图,∵∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,∴可以以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则点A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).
　　∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AD.
∵∠PDA=30°,∴PA=ADtan 30°=a,
∴P(0,0,a).
∵面PAD⊥面ABCD,过点E作EF⊥AD交AD于点F,则点F为点E在底面ABCD内的射影,
在Rt△AED中,∵∠EDA=30°,
∴AE=AD=a,由AE2=AF· AD,
得AF==,
∴EF2=AE2-AF2=,即EF=,
∴E(0,,).

1.点M(1,-2,2)到原点的距离是(　　).
A.9　　　　B.3　　　　C.1　　　　D.5
【解析】 d==3.
【答案】B
2.点P(23,4)到x轴的距离是(　　).
A. B.2 C.5 D.
【解析】 点P(2,3,4)在x轴上的射影为A(2,0,0),
|PA|==5.故选C.
【答案】C
3.已知正方体不在同一表面上的两顶点(-1,2,-1)、(3,-2,3),则正方体的棱长为　　　　. 
【解析】 正方体的体对角线长为
=4,正方体的棱长为4.
【答案】4
4.求点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标.

　　【解析】如图所示,过点A作AM⊥xOy平面于点M,并延长到C,使|AM|=|CM|,则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1).过点A作AN⊥x轴于点N,并延长到点B,使|AN|=|NB|,则A与B关于x轴对称且B(1,-2,1).
∴点A关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,1);
关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,1).

已知空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,1,1),平面α过点A并且与直线OA垂直,动点P(x,y,z)是平面α内的任意一点,求点P的坐标满足的条件.
【解析】在Rt△OAP中,∵|OP|2=|OA|2+|AP|2
∴x2+y2+z2=3+(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,
∴x2+y2+z2=x2-2x+y2-2y+z2-2z+6,
∴2x+2y+2z-6=0.
即x+y+z-3=0为点P的坐标满足的条件.