2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：4.5数系的扩充与复数的引入.docx

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课时提升作业(二十八)
一、选择题
1.（2021·湛江模拟）已知a是实数,i是虚数单位，若是纯虚数，则a=( )
(A)1 (B)-1 (C) (D)
2.设复数z的共轭复数是若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且是实数，则实数t等于( )
(A) (B)
(C) (D)
3.复数z1=3+i，z2=1-i，则z=z1·z2在复平面内的对应点位于( )
(A)第一象限　　　 (B)其次象限
(C)第三象限　 (D)第四象限
4.复数等于( )
(A)-1+i (B)1+i
(C)1-i (D)-1-i
5.（2021·广州模拟）已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为则的最大值是( )
(A) (B) (C) (D)
6.（2022·北京高考）在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
（A）(1,3) （B）(3,1)
（C）(-1,3) （D）(3,-1)
7.设i是虚数单位，复数z＝tan 45°－i·sin 60°，则z2等于( )
(A) (B)
(C) (D)
8.复数(m∈R,i为虚数单位）在复平面上对应的点不行能位于( )
(A)第一象限 (B)其次象限
(C)第三象限 (D)第四象限
9.（2022·北京高考）设a，b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( )
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
10.（力气挑战题）若是纯虚数，则θ的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
11．（2021·汕头模拟）设i是虚数单位，则=__________.
12.定义一种运算如下： =x1y2-x2y1，则复数(i是虚数单位）的共轭复数是__________.
13．（力气挑战题）已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i，则z1·z2的实部的最大值为__________，虚部的最大值为__________.
14.若复数z＝cos θ＋isin θ且z2＋＝1，则sin2θ＝__________.
三、解答题
15．已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值.
(2)若复数满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时z|有最小值，并求出|z|的最小值.

答案解析
1.【解析】选A.由题意知是纯虚数，∴即a=1.选A.
2.【解析】选A.z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i是实数，则
4t－3＝0，
3.【思路点拨】先计算所给的复数，依据实部、虚部确定对应点所在的象限.
【解析】选D.z=z1·z2=(3+i)(1-i)=4-2i，故对应的点在第四象限.
4.【解析】选A.=-1+i.
【变式备选】已知x,y∈R，i为虚数单位，且(x-2)i-y=-1+i，则(1+i)x+y的值为
( )
(A)4 (B)4+4i
(C)-4 (D)2i
【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i，
得x=3,y=1,
∴(1+i)4=［(1+i)2］2=(2i)2=-4.
5.【解析】选D.∵|x-2+yi|∴(x-2)2+y2=3，
即(x,y)在以C（2，0）为圆心、以为半径的圆上.
如图，由平面几何和直线的斜率学问知即的最大值为选D.
6.【思路点拨】化简复数后，利用复数的几何意义找出所对应的点.
【解析】选A.所对应点的坐标为（1，3）.
7.【解析】选B.
8.【思路点拨】先把z化成a+bi的形式，再进行推断.
【解析】选A.明显与不行能同时成立，则对应的点不行能位于第一象限
【一题多解】选A.设则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限，则对应的点不行能位于第一象限.
【方法技巧】复数问题的解题技巧
（1）依据复数的代数形式，通过其实部和虚部可推断一个复数是实数，还是虚数.
(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的，通过复数z的实部和虚部可推断出其对应点在复平面上的位置.
9.【解析】选B.当a=0时，假如b=0，此时a+bi=0是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而假如a+bi是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B.
10.【解析】选B.由题意，得
解得

11．【解析】
答案：
12.【解析】由定义知,故
答案：
13．【解析】z1·z2＝(cos θsin θ＋1)＋i(cos θ－sin θ).
实部为cos θsin θ＋1＝
所以实部的最大值为
虚部为cos θ－sin θ
所以虚部的最大值为
答案：
14.【解析】z2＋＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2＝2cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝所以
答案：
【方法技巧】解决复数中的三角函数问题的技巧
解决复数与三角函数结合的问题时，一般先依据复数的运算把复数化为代数形式，然后依据复数相等的概念得到复数的实部、虚部间的关系，利用题中的条件把问题转化为三角函数问题解决.
15．【思路点拨】（1）把b代入方程，依据复数的实部、虚部等于0解题即可.
（2）设z=s+ti，依据所给条件可得s,t间的关系，进而得到复数z对应的轨迹，依据轨迹解决|z|的最值问题.
【解析】(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，

解得a=b=3.
(2)设z＝s＋ti(s，t∈R),其对应点为Z(s,t)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得(s－3)2＋(t＋3)2＝4(s2＋t2)，
即(s＋1)2＋(t－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，为半径的圆，如图所示，
当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值.
∵|OO1|＝
半径
∴当z＝1－i时，
|z|有最小值且
【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件：
①是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在？若存在，求出z;若不存在，请说明理由.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)，
则

又z+3=a+3+bi，是实数,
依据题意有
∵b≠0，

解得或
∴z=－1－2i或z=－2－i.
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