【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：函数模型及其应用.docx

2021届高三数学（理）提升演练：函数模型及其应用

一、选择题
1．某学校开展争辩性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01

现预备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
(　　)
A．y＝2x－2　　　　　　　　B．y＝()x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优待方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人方案购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(　　)
A．不能确定 B．①②同样省钱
C．②省钱 D．①省钱
3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，假如该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2022年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为________万 m2.(1.0110≈1.1045)(　　)
A．90 B．87
C．85 D．80
4．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从动身到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)

5．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是(lg3＝0.477 1)(　　)
A．10 B．11
C．12 D．13
6．将长度为2的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
二、填空题
7．在不考虑空气阻力的状况下，设火箭的最大速度是v m/s，燃料的质量为M kg，火箭(除燃料外)的质量为m kg，三者之间的函数关系是v＝2 000·ln(1＋M/m)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
8．某居民小区收取冬季供暖费，依据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：
(1)依据使用面积缴纳，每平方米4元；
(2)依据建筑面积缴纳，每平方米3元．
李明家的使用面积为60平方米．假如他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过________平方米．
9．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
三、解答题
10．某市出租车的计价标准是：3 km以内(含3 km)10元；超过3 km但不超过18 km的部分1元/km；超出18 km的部分2元/km.
(1)假如某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了x km，他要付多少车费？
(2)假如某人付了22元的车费，他乘车行驶了多远？

11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

详解答案

一、选择题
1．解析：直线是均匀的，故选项A不是；指数函数y＝()x是单调递减的，也不符合要求；对数函数y＝log2x的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求．
答案：D
2．解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)
方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)
∵210<211.6，故方法①省钱．
答案：D
3．解析：到2022年底该城市人口有500×(1＋1%)10，
则≈86.6(万 m2)．
答案：B
4．解析：留意到y为“小王从动身到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
答案：D
5．解析：设原光线的强度为a，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则
y＝a(1－)x(x∈N*)，
令y＜a，即a(1－)x＜a，
∴()x＜，∴x＞.
∵＝＝≈10.4.
即x＞10.4.
答案：B
6．解析：设铁丝分成的两段长分别为x，y(x＞0，y＞0)，x＋y＝2.面积之和为S＝()2＋π()2＝x2＋＝x2－x＋，当S取得最小值时，x＝.
答案：D
二、填空题
7．解析：∵2 000·ln(1＋M/m)≤12 000，∴≤e6－1.
答案：e6－1
8．解析：按方案(1)，李明家需缴240元，故设李明家建筑面积为x平方米，则3x≤240，解得x≤80.
答案：80
9．解析：由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．由于标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
答案：6　10 000
三、解答题
10．解：(1)乘车行驶了20 km，付费分三部分，前3 km付费10(元)，3 km到18 km付费(18－3)×1＝15(元)，18 km到20 km付费(20－18)×2＝4(元)，总付费10＋15＋4＝29(元)．
设付车费y元，当018时，车费y＝25＋2(x－18)＝2x－11.

(2)付出22元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于3 km，且小于18 km，前3 km付费10元，余下的12元乘车行驶了12 km，故此人乘车行驶了15 km.
11．解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为：＝12，所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f(x)＝(100－)(x－150)－×50，整理得f(x)＝－＋162x－21 000＝－(x－4 050)2＋307 050.
所以，当x＝4 050时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．
12．解：(1)每吨平均成本为(万元)．
则＝＋－48≥2 －48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为
－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．