福建省龙岩一中2021届高三下学期考前模拟试卷数学(文)-Word版含答案.docx

龙岩一中2021届高考模拟试卷
数学（文科）
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
留意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
锥体体积公式：
，其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式
，
其中为球的半径
样本数据，，，的标准差

其中为样本平均数
柱体体积公式

其中为底面面积，为高
参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求).
1. 已知全集，集合，，如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，复数满足，则复数所对应的点位于复平面的(　　)
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（ ）
A．　　 B．21 　 　C．42　　　　 D．84
4.设在上随机地取值,则关于的方程有实数根的概率为（　　）
开头
是
否

输出
结束

①

A． B． C． D．
5. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
6.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为（ ）

A. B. C. D.
8．一个四棱锥的三视图如右图所示，那么这个四棱锥的侧面积是（ ）
A． B．
C． D．
9. 已知、满足约束条件,则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10.已知是所在平面内一点,为边中点,且,则有（　　）
A． B． C． D．
11．设是圆：上的点，圆的圆心为，半径为1，则是圆与圆相切的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).
13．设函数， 则函数的值域是___________
14．已知，则的最小值为_____________
15．抛物线的焦点恰好是双曲线：的两焦点间线段的一个三等分点，则双曲线的渐近线方程为___________
16．已知函数，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围是___________
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分12分）
设数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列为等差数列，且，公差为. 当时，比较与的大小．

18. （本小题满分12分）
某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课. 为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，依据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为，，，，.
时间
0.002
频率/组距
0 10 20 30 40 50
0.003
0.020
0.060
a
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
（Ⅲ）若从样本单程时间不小于30分钟的同学中，随机抽取2人，求恰有一个同学的单程时间落在上的概率.

19. （本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，．
（Ⅰ）若，，求和；
（Ⅱ) 若，且的面积为2，求的大小．

20. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，平面, 平面，，，.
（Ⅰ）求棱锥的体积；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.

21. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ)试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．

22. （本小题满分14分）
已知函数，其中为实数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ) 当时，若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围.
（Ⅲ）证明，对于任意的正整数，不等式恒成立.

龙岩一中2021届高考模拟试卷
文科数学卷
参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
题号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
10
11
12
答案
B
A
B
C
C
D
A
D
B
B
D
C
二、填空题(本大题共4小题，共16分)
13． 14． 15． 16．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由于，
所以当时，，
由 两式相减，得，
即， ………………3分
由于当时，，
所以， ………………4分
所以 ………………6分
（Ⅱ）解：由于， ………………8分
所以，， ………………10分
由于， ………………11分
由，得，
所以当时，. ………………12分

18．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）时间分组为的频率为
， 2分
∴，
所以所求的频率直方图中的值为. 3分
（Ⅱ）100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：
4分

. 5分
由于，
所以该校不需要推迟5分钟上课. 6分
（Ⅲ）依题意满足条件的单程所需时间在中的有人，不妨设为，
单程所需时间在中的有人，不妨设为， 7分
从单程所需时间不小于30分钟的5名同学中，随机抽取2人共有以下种状况：
，，，，，，，
，，； 10分
其中恰有一个同学的单程所需时间落在中的有以下6种：
，，，，，； 11分
故恰有一个同学的单程所需时间落在中的概率. 12分
19. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）∵，
∴
∵ ∴ ……………………………………………………3分
∵ ∴ ∴ ………………5分
∴ …………………………………………………………………………6分
或：∵ ∴ ………………………1分
∴ ∴ ………………………………2分
∵ ∴∴ …………………………………………3分
∵ ∴ ……………………………………………………………4分
∵ ∴ 在直角中，， ……………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理：
∴ ∴ ∴ …………………………8分
∵ ∴ ∴ ……………………………10分
∴ =×8=12 ∴ =2 ………………………………………………12分
20．(本小题满分12分)
A
B
C
E
D
FF
M
（Ⅰ）解：在中，………………1分
由于平面，
所以棱锥的体积为.
………………4分
（Ⅱ）证明：由于 平面，平面，
所以. ………………5分
又由于，,
所以平面. ………………7分
又由于平面，
所以平面平面. …………………8分
（Ⅲ）结论：在线段上存在一点,且，使平面.………………9分
解：设为线段上一点, 且，
过点作交于，则.
由于平面,平面，
所以.
又由于
所以，,
所以四边形是平行四边形，
则. ………………11分
又由于平面，平面，
所以平面. ………………12分
21．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）设，
∵直线斜率为时，，
∴，
∴ …………………………1分
∴， …………………………2分
∵，∴． …………………………4分
∴椭圆的标准方程为． …………………………5分
（Ⅱ）以为直径的圆过定点． …………………………6分
设，则，且，即……………7分
∵，∴直线方程为： ，
∴ ， …………………………8分
直线方程为： ，∴， …………………………9分
以为直径的圆为
即， …………………………10分
∵，∴， …………………………11分
令，，解得，
∴以为直径的圆经过定点：． …………………………12分
22. (本小题满分14分)
解：（Ⅰ） …………………………1分
所以，当，，当，，………………3分
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，……………4分
（Ⅱ）
当时，在上递减，在上递增， …………………………6分
当时，在，上递增，在上递减，
不恒成立 …………………………7分
当时，在上递增，
不恒成立 …………………………8分
综上： …………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，恒成立，
即
当且仅当时以“=” …………………………11分
时， …………………………12分

……
…………………………13分
………………14分