【复习参考】2021年高考数学(理)提升演练：直线、平面垂直的判定及性质.docx

2021届高三数学（理）提升演练：直线、平面垂直的判定及性质

一、选择题
1．给出以下命题，其中错误的是 (　　)
A．假如一条直线垂直于一个平面内的很多条直线，则这条直线垂直于这个平面
B．垂直于同一平面的两条直线相互平行
C．垂直于同始终线的两个平面相互平行
D．两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面
2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 (　　)
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
3．若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
4．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，假如把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的全部新命题中，真命题有 (　　)
A．0个　　　　　　　　　 　 B． 1个
C．2个 D．3个
5．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；
②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是 (　　)
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
6．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是
(　　)

A．A′C⊥BD
B．∠BA′C＝90°
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
D．四周体A′－BCD的体积为
二、填空题
7．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)
8．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为___．
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写个你认为是正确的条件即可)
三、解答题
10.三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.

11.如图，三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．
(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD.

12． 如图，直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，其中DC⊥CB，PA⊥平面ABC，DC＝BC＝2PA，E、F分别为DB、CB的中点．
(1)证明：AE⊥BC；
(2)求直线PF与平面BCD所成的角．

详解答案

一、选择题
1．解析：一条直线可以垂直于一个平面内的很多条平行直线，但这条直线不垂直这个平面．
答案：A
2．解析：依据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面可知B正确．
答案：B
3．解析：对于A，由m⊂β，α⊥β明显不能得知m⊥α；对于B，由条件也不能确定α∥β；对于C，由m∥α得，在平面α上必存在直线l∥m.又m⊥β，因此l⊥β，且l⊂α，故α⊥β；对于D，垂直于同一平面的两个平面不肯定垂直，因此D也不正确．
答案：C
4．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题，故选C.
答案：C
5．解析：对于①，由于两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直，因此①是正确的对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不肯定平行，因此②是错误的；对于③，直线n可能位于平面α内，此时结论明显不成立，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．
答案：C
6．解析：取BD的中点O，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD， ∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，∴OC⊥BD，冲突，∴A′C不垂直于BD，A错误；∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，A′C在平面A′BD内的射影为A′D，∵A′B＝A′D＝1，BD＝，∴A′B⊥A′D，A′B⊥A′C，B正确；∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误；VA′－BCD＝S△A′BD·CD＝，D错误．
答案：B
二、填空题
7．解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.
答案：充分不必要
8．解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，
易知AC⊥EF，
又GH∥SO，
∴GH⊥平面ABCD.
∴AC⊥GH.又GH∩EF＝H，
∴AC⊥平面EFG.
故点P的轨迹是△EFG，其周长为＋.
答案：＋
9．解析：由PA⊥BD，AC⊥BD可得BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
三、解答题
10. 证明：∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝2.
设AD＝x，则BD＝2－x，
∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(2－x)2，
A1E2＝(2)2＋1.
∵∠A1DE＝90°，
∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝.
∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.
又AA1⊥CD且AA1∩AB＝A，
∴CD⊥平面A1ABB1.
11. 解：(1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0＜λ＜1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.
∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF.
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，AB＝tan 60°＝.
∴AC＝＝.
由AB2＝AE·AC，得AE＝.
∴λ＝＝.
12．解：(1)证明：连接EF，AF.

由于E、F分别是BD、BC的中点，所以EF∥DC.
又DC⊥BC，所以EF⊥BC.
由于△ABC为等边三角形，所以BC⊥AF.EF∩AF＝F
所以BC⊥平面AEF，又AE⊂平面AEF，故BC⊥AE.
(2)连接PE.由于平面BCD⊥平面ABC，
DC⊥BC，AF⊥BC，
所以DC⊥平面ABC，AF⊥平面BCD.
由于PA⊥平面ABC，PA＝DC，
所以PA綊DC.
又由于EF綊DC，
所以EF綊PA，故四边形APEF为矩形．
所以PE綊AF.
所以PE⊥平面BCD.
则∠PFE即为直线PF与平面BCD所成的角．
在Rt△PEF中，由于PE＝AF＝BC，
EF＝DC＝BC，所以tan∠PFE＝＝，
故∠PFE＝60°，
即直线PF与平面BCD所成的角为60°.