1、高三体艺午间小练：解三角形与立体几何（6）
1．如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求四棱锥的体积.
2．在中，内角所对的边分别为，且
（1）若，求的值;
（2）若，且的面积，求和的值.
参考答案
1．（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由于底面，所以有，因此欲证平面，只要证，而这一点可通过连结，利用菱形的性质及勾股定理解决.
（2）欲求四棱锥的体积.，必需先求出,连结，设，在利用余弦定理求出，由三个直角三角形，依据勾股定理建立关于的
2、方程即可.
解：（1）如图，由于菱形，为菱形中心，连结，则，因，故
又由于，且，在中
所以，故
又底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面
（2）解：由（1）可知，
设，由底面知，为直角三角形，故
由也是直角三角形，故
连结，在中,
由已知，故为直角三角形，则
即，得，（舍去），即
此时
所以四棱锥的体积
考点：1、直线与平面垂直的判定与性质；2、空间几何体的体积.3、余弦定理及勾股定理.
2．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由及可得，而后由余弦定理可求的值;
（2）由降幂公式
又由于，最终解方程组可得和的值.
解: （1）由题意可知：
由余弦定理得：
（2）由可得：
化简得
由于，所以
由正弦定理可知：，又因，故
由于，所以，从而，解得
考点：1、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式；2、正弦定理与余弦定理.
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