【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：B4函数的奇偶性与周期性.docx

B4 函数的奇偶性与周期性

【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有 (　 　)
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【学问点】双曲线及其几何性质周期性B4 H6
【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=，
在 x=和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= ，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．
【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在 x= 和 x=-处的切线都是y=-，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．

【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】14、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【学问点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4
【答案】【解析】 解析：由于当x≥0时，f（x）=，所以f(x)是的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2]
，由于函数2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以2x+1有最大值2a+5,所以.
【思路点拨】先依据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数，然后把命题转化为对任意x∈[a，a+2],a 2x+1恒成立问题求解.

【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】2. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )[]
A. B. C. D.
【学问点】利用导数争辩函数的极值；函数奇偶性的性质．B12 B4
【答案】【解析】D 解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值．故选D.
【思路点拨】依据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．

【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】12.若函数且,若是偶函数，且在 内是减函数，则整数的值是__________．
【学问点】函数奇偶性的性质.B4
【答案】【解析】1或3 解析：由分段函数f（x）可得，
b=f（f（f（0）））=f（f（﹣2））=f（1）=1，
由于是偶函数，且在内是减函数，
则a2﹣4a﹣1＜0，解得2﹣＜a＜2+，
由于a为整数，则a=0，1，2，3，4
检验：只有a=13时，函数y=x﹣4为偶函数，故答案为：1或3．
【思路点拨】运用分段函数表达式，求得b=1，再由幂函数的单调性得到a2﹣4a﹣1＜0，解得a，再求整数a，检验函数的奇偶性，即可得到a．

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】17.(本小题满分12分)
已知函数为奇函数.
(1)求的值；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【学问点】函数的奇偶性和单调性 B3 B4
【答案】【解析】(1) (2)
解析：（1）令,
.
∴,∴.
(2) 在[-1，1]上递增，∴,
∴,.
【思路点拨由函数为奇函数，可求时的解析式，即可求出 ；再利用函数在上递增，可得，即可求出.

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】4.已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值可以是 ( ) A. B. C. D.
【学问点】函数的奇偶性 B4
【答案】【解析】B 解析：的图像由向左平移1个单位得到，所以的定义域为，又为偶函数，故 ，即 ，故选B.
【思路点拨】图像平移左加右减，函数的图像左移1个单位得到，由为偶函数可以得定义域关于原点对称，所以两端点之和为0.

【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】3.函数的大致图像是 （ ）

【学问点】函数图像，奇偶性B8 B4
【答案】【解析】B 解析：由函数解析式可得 为偶函数， 即 ， 图像取 轴上方部分；当 时， ，其图像在第一象限单调递减，所以选B.
【思路点拨】对于分段函数的图像，分别依据不同的定义域画出各段的图像，再依据函数的奇偶性即可得到图像.

【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（ 　 ）
A、 B、 C、 D、或
【学问点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题. B3 B4 E8
【答案】【解析】D解析：由①②得函数是R 上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：
，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.
【思路点拨】依据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为
，对恒成立.所以只需求在
上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以
或.

【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】11.若为定义在上的偶函数，，当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的奇偶性与周期性B4
【答案解析】C ,则x-4[-1,1],又由于为偶函数，[-1,0]和[0,1]对称，所以f（x）=,故选C。
【思路点拨】依据函数的奇偶性和周期性求出解析式。

【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】4.下列函数既是奇函数，又是上的增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的奇偶性函数的单调性B3 B4
【答案解析】D A选项是偶函数，B选项为奇函数但是为减函数，C选项既不是奇函数也不是偶函数，故选D。
【思路点拨】依据奇函数偶函数的定义确定，再用增减性求出结果。

【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有 (　 　)
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【学问点】双曲线及其几何性质周期性B4 H6
【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2-|x|=，
在 x=和 x=- 处的切线都是y=-，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= ，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故答案为B．
【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在 x= 和 x=-处的切线都是y=-，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．

【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】3、定义在R上的函数满足，且时，
，则
A．1 B． C． D．
【学问点】函数的奇偶性与单调性 B3,B4
【答案】【解析】C 解析：由，由于，所以，，所以
.故选
【思路点拨】把所求的值利用函数的奇偶性与单调性导入已知的区间，再求出结果.

【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】6．函数的图象
A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．关于轴对称
【学问点】函数的奇偶性B4
【答案解析】B 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f（-x）= =-=-f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选B．
【思路点拨】先看函数的定义域，再看f（-x）与f（x）的关系，推断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．

【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】9.函数的图像关于原点对称，是偶函数，则（ ）
A.1 B. C. D.
【学问点】函数奇偶性的性质．B4
【答案】【解析】D 解析：∵关于原点对称，∴函数是奇函数，
∴∵是偶函数，∴对任意的都成立，∴，∴，
∴对一切恒成立，∴，∴，故选：D
【思路点拨】由题意可得对任意的都成立，代入整理可求；由题意可得对任意的都成立，代入整理可求。

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】16．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题
(1) (2) 在[-2，2]上有5个零点
(3) 点(2022，0)是函数的一个对称中心
(4) 直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是
【学问点】奇函数 函数的单调性 函数的其图像B3 B4 B10
【答案】【解析】(1) (2) (3) 解析：由奇函数的性质知所以(1)正确；由得，所以f(1)=0，又f(0)=f(2)=0，且函数的周期为2，又当且时，有，所以函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数模型如图：

由函数模型知(2)(3)也正确，所以正确的序号为(1) (2) (3).
【思路点拨】抓住函数的性质特征，利用函数模型结合其图像特征解题即可..

【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】19. （本题满分12分）已知函数,其中是自然对数的底数．
(1) 证明：是上的奇函数；
(2) 若函数,求在区间上的最大值.
【学问点】函数的奇偶性单调性 导数的应用B4 B12
【答案】【解析】(1)略；(2)2.
解析：(1)证明:函数的定义域为,
且,所以是上的奇函数. 5分
(2)解:
, 8分
不妨令,则,
由可知在上为单调递增函数,
所以在上亦为单调递增函数,
从而, 10分
所以的最大值在处取得,
即. 12分
另解：
令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]
∴原函数可化为：
∴

而==
又t∈[1,e]时，，
∴
∴,故在t∈[1e]上递减
∴，即.
【思路点拨】依据函数的奇偶性的定义进行推断，依据可得，令，可得，由于由可知在上为单调递增函数, 所以在上亦为单调递增函数,利用复合函数的同增异减求得.

【数学文卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】19. （本题满分12分）已知函数,其中是自然对数的底数．
(1) 证明：是上的奇函数；
(2) 若函数,求在区间上的最大值.
【学问点】函数的奇偶性单调性 导数的应用B4 B12
【答案】【解析】(1)略；(2)2.
解析：(1)证明:函数的定义域为,
且,所以是上的奇函数. 5分
2)解:
, 8分
不妨令,则,
由可知在上为单调递增函数,
所以在上亦为单调递增函数,
从而, 10分
所以的最大值在处取得,
即. 12分
另解：
令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]
∴原函数可化为：
∴

而==
又t∈[1,e]时，，
∴
∴,故在t∈[1,e]上递减
∴即.
【思路点拨】依据函数的奇偶性的定义进行推断，依据可得，令，可得，由于由可知在上为单调递增函数, 所以在上亦为单调递增函数,利用复合函数的同增异减求得.

【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.或
【学问点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题. B3 B4 E8
【答案】【解析】D解析：由①②得函数是R 上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：
，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.
【思路点拨】依据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为
，对恒成立.所以只需求在
上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以
或.

【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】11.若为定义在上的偶函数，且，当时，，则当 时，（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的奇偶性与周期性B4
答案解析】C ,则x-4[-1,1],又由于为偶函数，[-1,0]和[0,1]对称，所以f（x）=,故选C。
【思路点拨】依据函数的奇偶性和周期性求出解析式。

【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】9. 若定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A. 5 B. -5 C. 0 D. 3
【学问点】周期性B4
【答案解析】B ∵定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∵f（x+1）=f（1-x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]f[1-（x+1）]=f（-x）=-f（x），
即f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2），∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为4，
∴f（2021）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1），∵f（1）=5，∴f（2021）=-5．故选：B．
【思路点拨】由题意求出函数的周期，转化f（2021）为已知函数定义域内的自变量，然后求值．

【数学文卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】4. 下列函数既是奇函数，又是上的增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【学问点】函数的奇偶性函数的单调性B3 B4
【答案解析】D A选项是偶函数，B选项为奇函数但是为减函数，C选项既不是奇函数也不是偶函数，故选D。
【思路点拨】依据奇函数偶函数的定义确定，再用增减性求出结果