2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第八章-第四节直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

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课时提升作业(五十三)
一、选择题
1.(2021·广州模拟)圆C1:x2+y2+2x-3=0和圆C2:x2+y2-4y+3=0的位置关系
为(　　)
(A)相离　　(B)相交　　(C)外切　　(D)内含
2.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为(　　)
(A)(x+1)2+y2=2　　　　(B)(x-1)2+y2=2
(C)(x+1)2+y2=4 (D)(x-1)2+y2=4
3.(2021·中山模拟)若直线2x-y+a=0与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则实数a的取值范围是(　　)
(A)-2-　　 (B)或-
(C) (D)或-
6.(2021·惠州模拟)设直线kx-y+1=0被圆O:x2+y2=4所截弦的中点的轨迹为C,则轨迹C与直线x+y-1=0的位置关系为(　　)
(A)相离　　 (B)相切　　(C)相交　　(D)不确定
7.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)
(A)2　　　 (B)3　　　 (C)4　　　(D)6
8.(力气挑战题)(2021·湛江模拟)若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是(　　)
(A)[1-2,1+2]　　　　(B)[1-,3]
(C)[-1,1+2] 　 　(D)[1-2,3]
二、填空题
9.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于　　　.
10.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是　　　　　　　.
11.(2021·江门模拟)两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P,Q两点,若点P坐标为(1,2),则点Q的坐标为　　　　.
12.(2021·深圳模拟)若点P在直线l1:x+my+3=0上,过点P的直线l2与圆C:(x-5)2+y2=16只有一个公共点M,且|PM|的最小值为4,则m=　　　.
三、解答题
13.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O2的方程.
14.(2021·清远模拟)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
15.(力气挑战题)已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.
(1)求直线l1的方程.
(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′,直线QM交直线l2于点Q′.
求证:以P′Q′为直径的圆C总经过定点,并求出定点坐标.

答案解析
1.【解析】选B.圆C1方程可化为:(x+1)2+y2=4,其圆心C1(-1,0),半径r1=2,
圆C2方程可化为:x2+(y-2)2=1,其圆心C2(0,2),半径r2=1.
∴|C1C2|==,r1+r2=3,r1-r2=1,
∴r1-r2<|C1C2|直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.
3.【解析】选B.若直线与圆有公共点,即直线与圆相交或相切,故有≤1,解得-2-≤a≤-2+.
4.【解析】选B.设圆心为(a,0)(a<0),由于截得的弦长为4,所以弦心距为1,则d==1,解得a=-,所以,所求圆的方程为(x+)2+y2=5.
5.【解析】选D.∵·=0,∴OM⊥CM,
∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,
由=,得k=±,即=±.
6.【解析】选C.直线kx-y+1=0恒过定点A(0,1),设弦的中点为P,则OP⊥AP,则轨迹C是以线段OA为直径的圆,其方程为x2+(y-)2=,圆心0,)到直线x+y-1=0的距离d=
∴直线x+y-1=0与轨迹C相交.
7.【解析】选C.由x2+y2+2x-4y+3=0,得(x+1)2+(y-2)2=2,
依题意得圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,
所以有2a×(-1)+b×2+6=0,即a=b+3　①
又由点(a,b)向圆所作的切线长
l=　②
将①代入②得
l==,
又由b∈R,所以当b=-1时,lmin=4.
8.【解析】选D.在平面直角坐标系内画出曲线y=3-与直线y=x,在平面直角坐标系内平移该直线,结合图形分析可知,当直线沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置.相应的直线与曲线y=3-都有公共点;当直线沿右下方平移到与以点(2,3)为圆心、2为半径的圆相切的过程中的任何位置,相应的直线与曲线y=3-都有公共点,留意与y=x平行且过点(0,3)的直线方程是y=x+3;当直线y=x+b与以点(2,3)为圆心、2为半径的圆相切时,有=2,b=1±2.结合图形可知,满足题意的b的取值范围是[1-2,3].
9.【解析】∵点A(1,2)在圆x2+y2=5上,
∴过点A与圆O相切的切线方程为x+2y=5,易知切线在坐标轴上的截距分别为5,,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
答案:
10.【思路点拨】数形结合得最小圆的圆心确定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心与直线x+y-2=0垂直的垂线段上.
【解析】∵圆A:(x-6)2+(y-6)2=18,
∴A(6,6),半径r1=3,且OA⊥l,A到l的距离为5,明显所求圆B的直径2r2=2,即r2=,又OB=OA-r1-r2=2,由与x轴正半轴成45°角,
∴B(2,2),∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2.
答案:(x-2)2+(y-2)2=2
11.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过它们圆心的直线方程为=,
即y=-x,依据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称,故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点即Q点的坐标为(-2,-1).
答案:(-2,-1)
【变式备选】若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线相互垂直,则线段AB的长是　　　.
【解析】依题意得|OO1|==5,且△OO1A是直角三角形,
=··|OO1|=·|OA|·|AO1|,因此|AB|===4.
答案:4
12.【解析】由题意l2与圆C只有一个公共点,说明l2是圆C的切线,由于|PM|2=|PC|2-|CM|2=|PC|2-16,所以要|PM|最小,只需|PC|最小,
又C(5,0)为定点,则|PC|的最小值为点C到l1的距离,即=,所以|PM|的最小值为=4,解得m=±1.
答案:±1
13.【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
∵圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,
∴直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.
圆心O1到直线AB的距离d=,
由d2+22=6,得=2,
∴r2-14=±8,r2=6或r2=22.
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.
【方法技巧】求解相交弦问题的技巧
把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0　①
我们把直线方程①称为两圆C1,C2的根轴,
当两圆C1,C2相交时,方程①表示两圆公共弦所在的直线方程;
当两圆C1,C2相切时,方程①表示过圆C1,C2切点的公切线方程.
14.【解析】假设存在斜率为1的直线l满足题意,则OA⊥OB.
设直线l的方程是y=x+b,其与圆C的交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
则·=-1,即x1x2+y1y2=0　①
由
消去y得:2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
∴x1+x2=-(b+1),x1x2=(b2+4b-4),　②
y1y1=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
=(b24b-4)-b2-b+b2=(b2+2b-4).　③
把②③式代入①式,得b2+3b-4=0,解得b=1或b=-4,且b=1或b=-4都使得Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0成立.故存在直线l满足题意,其方程为y=x+1或y=x-4.
15.【解析】(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:x2+y2=1相切,设直线l1的方程为y=k(x-3)(斜率不存在时,明显不符合要求),即kx-y-3k=0,
则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d==1,
解得k=±,∴直线l1的方程为y=±(x-3).
(2)对于圆方程x2+y2=1,
令y=0,得x=±1,故可令P(-1,0),Q(1,0).
又直线l2过点A且与x轴垂直,
∴直线l2的方程为x=3,
设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1).
解方程组得P′(3,).
同理可得,Q′(3,),
∴以P′Q′为直径的圆C的方程为
(x-3)(x-3)+(y-)(y-)=0,
又s2+t2=1,
∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,
若圆C经过定点,只需令y=0,
从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2,
∴圆C总经过定点,坐标为(3±2,0).
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