2021高考数学(福建-理)一轮作业：6章-章末检测.docx

第六章　章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2011·茂名月考)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是 (　　)
A．15 B．30 C．31 D．64
2．各项均不为零的等差数列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0 (n∈N*，n≥2)，则S2 010等(　　)
A．0 B．2 C．2 009 D．4 020
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于 (　　)
A．66 B．65 C．61 D．56
4．(2011·南阳模拟)等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则 (　　)
A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1
5．(2010·东北师大附中高三月考)由a1＝1，an＋1＝给出的数列{an}的第34项(　　)
A. B．100 C. D.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5 (　　)
A．13 B．10 C．9 D．6
8．(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于 (　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
9．在如图的表格中，假如每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为 (　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
10．(2011·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为疼惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 (　　)
A．5年 B．6年 C．7年 D．8年
11．在△ABC中，tan A，tan B，tan C依次成等差数列，则B的取值范围是 (　　)
A.∪ B.∪
C. D.
12．(2010·安徽)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是 (　　)
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答　案

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n＝________.
14．(2011·海口调研)在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________.
15．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规章分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．
16．(2010·哈师大附中高三月考)已知Sn是等差数列{an} (n∈N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11.
其中正确的命题是____．(将全部正确的命题序号填在横线上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2011·德州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，S10＝190.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设p，q∈N*，试推断ap·aq是否仍为数列{an}中的项并说明理由．

18．(12分)在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求数列{an}的通项公式．

19．(12分)(2011·武汉月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且向量a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)求数列的前n项和Tn.

20．(12分)(2011·唐山月考)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．
(1)设a为常数，求证：{an}成等比数列；
(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝时，求Sn.

21．(12分)(2011·周口月考)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)是否存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)？请说明理由．

22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开头，每年将毁灭这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最终结果精确到整数)

答案 1．A　[由{an}是等差数列知a7＋a9＝2a8＝16，∴a8＝8.又a4＝1，∴a12＝2a8－a4＝15.]
2．D　[a＝an－1＋an＋1＝2an，an≠0，∴an＝2.
∴Sn＝2n，S2 010＝2×2 010＝4 020.]
3．A　[当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，
∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋＝2＋64＝66.]
4．B　[由于{an}是等比数列，所以a1·a5＝a2·a4＝a，代入已知式T5＝1，得a＝1，所以a3＝1.]
5．C　[由an＋1＝知，＝＋3，
∴是以1为首项，公差为3的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
∴an＝，a34＝＝.]
6．B　[∵Sn＝n2－9n，
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8适合上式，
∴an＝2n－10 (n∈N*)，
∴5<2k－10<8，得7.5n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值．]
9．B　[由表格知，第三列为首项为4，其次项为2的等比数列，∴x＝1.
依据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，，故该数列所成等比数列的公比为，∴y＝5×3＝，同理z＝6×4＝.故x＋y＋z＝2.]
10．C　[由题意知第一年产量为a1＝×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)·(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2 (n∈N*)，令3n2≤150，∴1≤n≤5，∴1≤n≤7.
故生产期限最大为7年．]
11．D　[由已知得2tan B＝tan A＋tan C>0(明显tan B≠0，若tan B<0，由于tan A>0且tan C>0，tan A＋tan C>0，这与tan B<0冲突)，
又tan B＝－tan(A＋C)＝－
＝－≠0，所以tan Atan C＝3.
又∵tan A＋tan C≥2＝2，
∴tan B≥，∵B∈(0，π)
∴B的取值范围是.]
12．D　[由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.
又∵{an}是等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，
即X，Y－X，Z－Y为等比数列，
∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，
即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，
∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)．]
13．624
解析　an＝＝－.
∴(－1)＋(－)＋…＋(－)＝24，
∴＝25，∴n＝624.
14．52
解析　∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.
∴S13＝＝＝＝52.
15．34 950
解析　由“第n组有n个数”的规章分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.
16．①②
解析　由S6>S7得a7<0，
由S6>S5得a6>0，
由S7>S5得a6＋a7>0.
由于d＝a7－a6，∴d<0；
S11＝a1＋a2＋…＋a11＝(a1＋a11)＋(a2＋a10)＋…＋a6＝11a6>0，S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a12)＋(a2＋a11)＋…＋(a6＋a7)＝6(a6＋a7)>0；
∵a6>0，a7<0，∴{Sn}中S6最大．
故正确的命题为①②.
17．解　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则
，………………………………………………………………(4分)
解得a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3.………………………………………………………(6分)
(2)apaq＝(4p－3)(4q－3)＝16pq－12(p＋q)＋9
＝4[4pq－3(p＋q)＋3]－3，
∵4pq－3(p＋q)＋3∈N*，………………………………………………………………(8分)
∴ap·aq为数列{an}中的项．……………………………………………………………(10分)
18．解　∵a3＋a13＝2a8，a3＋a8＋a13＝12，
∴a8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)
则由已知得
解得或…………………………………………………………(7分)
由a3＝1，a13＝7，
可知d＝＝＝.
故an＝a3＋(n－3)·＝n－；……………………………………………………………(9分)
由a3＝7，a13＝1，
可知d＝＝＝－.
故an＝a3＋n－3)·
＝－n＋.……………………………………………………………………………(11分)
综上可得，an＝n－，或an＝－n＋.……………………………………………(12分)
19．(1)证明　∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线，
∴n(n＋3)－4Sn＝0，∴Sn＝.……………………………………………………(3分)
∴a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，……………………………………………………(5分)
又a1＝1满足此式，∴an＝.………………………………………………………(6分)
∴an＋1－an＝为常数，
∴数列{an}为首项为1，公差为的等差数列．………………………………………(7分)
(2)解　∵＝＝2，…………………………………………………(9分)
∴Tn＝＋＋…＋.
＝2＋2＋…＋2＝.……………………………………(12分)
20．(1)证明　f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，…………………………………………(2分)
即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.
∴＝＝
＝a2 (n≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分)
∴{an}为以a2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)
(2)解　bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2
＝(2n＋2)a2n＋2.…………………………………………………………………………(7分)
当a＝时，bn＝(2n＋2)()2n＋2
＝(n＋1)2n＋2.
Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，①
2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，②
①－②，得
－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 …………………………………………(9分)
＝16＋－(n＋1)·2n＋3
＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.
∴Sn＝n·2n＋3.……………………………………………………………………………(12分)
21．解　(1)已知得a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an
＝8n(n∈N*)，①
当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)．②
由①－②，得2n－1an＝8.∴an＝24－n.……………………………………………………(3分)
在①中，令n＝1，得a1＝8＝24－1，
∴an＝24－n(n∈N*)．
由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，
∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2.
∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6.…………………………………………………(5分)
∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)
＝n2－7n＋14(n∈N*)．…………………………………………………………………(7分)
(2)∵bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，
设f(k)＝k2－7k＋14－24－k，
当k≥4时，f(k)＝(k－)2＋－24－k，单调递增，
且f(4)＝1.
∴k≥4时，f(k)＝k2－7k＋4－24－k≥1.…………………………………………………(10分)
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，…………………………………………………………………(11分)
∴不存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)．………………………………………………(12分)
22．解　设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.…(3分)
依题意an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，
∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)
＝an＋，………………………………………………………………………………(6分)
即an＋1－＝(an－)．
∴{an－}是以－为首项，为公比的等比数列，
则an＋1＝－·()n.………………………………………………………………………(9分)
∵an＋1>50%，∴－·()n>.
∴()n<，n>＝≈3.……………………………………………………(11分)
则当n≥4时，不等式()n<恒成立．
∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)