1、
典例 学校某争辩性学习小组去化工厂实习,同学们在体会劳动辛苦的同时,发觉并进行了如下的课题争辩.现知道化工厂的主把握表盘高1 m,表盘底边距地面2 m,问:值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面1.2 m).
【思维引导】
【规范解答】
(典例)
如图,CD=2-1.2=0.8,设AD=x,∠CAD=β,∠BAD=α,∠BAC=φ.
则tanα===, 2分
tanβ==. 4分
由于tanφ=tan(α-β)=, 6分
所以tanφ==≤=, 8分
当x=,即x=1.2时, 10分
tanφ达到最大值,φ是锐
2、角,tanφ最大时,φ也最大, 12分
所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD=1.2 m.14分
【点评】 本题考查解三角形的学问、两角差的正切公式的应用及利用基本不等式求最值.一般地,争辩角的最值,需求角的某个三角函数值的最值,通常选择三角函数时,一看题目的条件,依据条件选择合适的三角函数;二要留意三角函数在角的范围内应当单调,最终利用三角函数的单调性得到角的最值.
变式1 (必修5 P92习题13改编)如图,有一壁画,最高点A处离地面4m,最低点B处离地面2m,若从离地面1.5m的C处观赏它,则离墙多远时,视角θ最大?
(变式1)
【解答】 设人到墙的距离为xm,则tan
3、∠ACD=,tan∠BCD=,所以
tanθ=tan(∠ACD-∠BCD)===≤=,当且仅当4x=,即x= m时,视角θ最大.
变式2 如图,某爱好小组测量电视塔AE的高度H(单位:m)时,测得垂直放置的标杆BC的高h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.
(变式2)
(1) 若该小组已经测得一组α,β的值,且tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值;
(2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m,试问:d为多少时,α-β最大?
【解答】 (1) 由于=tanβ,所以AD=,
同理AB=,BD=.
由于AD-AB=DB,所以-=,
解得H===124.
所以此时电视塔的高度H是124m.
(2) 由题设知d=AB,得tanα=,tanβ===,
tan(α-β)===.
由于d+≥2(当且仅当d===55时,取等号),
故当d=55时,tan(α-β)最大.
由于0<β<α<,则0<α-β<,所以当d=55(m)时,α-β最大.
温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第1314页.
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