1、
典例 已知函数f(x)=x3-ax2+4对任意x∈[1,2]恒有f(x)>0,其中a>0,求实数a的取值范围.
【思维引导】
【规范解答】
方法一:用导数法求最值.由f'(x)=3x2-3ax,所以当x=0,x=a时有极值.2分
当a>2时,f(2)<0,此时a∈f;当1≤a≤2时,f(a)>0,此时a∈[1,2);当a<1时,f(1)>0,此时a∈(-∞,1).
所以实数a的取值范围是(-∞,2).14分
方法二:由f(x)>0,分别参数得a2、g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>2时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=2时,函数g(x)取得微小值.所以g(x)min=3,
由a<3,得a<2,即实数a的取值范围是{a|a<2}. 14分
变式1 已知函数f(x)=x3-ax2+4,存在x∈[1,2],使得f(x)>0,其中a>0,求实数a的取值范围.
【解答】 由f'(x)=3x2-3ax,
所以当x=0,x=a时有极值,
所以只要f(1)>0或f(2)>0即可,解得a<或a<2,所以实数a的取值范围是.
变式2 已知函数f(x)=x3-ax2+4,g(x)=ax2+4(a>0).
(1) 若
3、对任意x∈[1,2],恒有f(x)>g(x),求实数a的取值范围;
(2) 若对任意x1∈[1,2],x2∈[1,2],都有f(x1)>g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
【解答】 (1) 令h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2+4-(ax2+4)=x3-ax2,
对其求导,得h'(x)=3x2-5ax.令h'(x)=0,解得x=0或x=,所以当x=0或x=a时有极值,
所以有三种状况,
解得0g(x)max,
由a>0可得g(x)max=g(2)=4a+4.
由f'(x)=3x2-3ax,所以当x=0,x=a时有极值,
所以有三种状况,解得a<,
即实数a的取值范围是.
变式3 请依据题意自我编写题目,并进行解答!(在空格处填“任意”或“存在”)
已知函数f(x)=x3-ax2+4,g(x)=ax2+4(a>0).
① x1∈[1,2], x2∈[1,2],有f(x1)>g(x2)成立;
②在①的状况下,求实数a的取值范围.
【解析】 分四种状况争辩求解,答案略.
温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第1920页.
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