《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-专题讲座六-图表信息类问题.docx

专题讲座六　图表信息类问题

所谓图表信息类问题，就是依据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息，要求考生依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题，主要考查同学们识图看表的力气以及处理信息的力气．解答这类试题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，依据题意要求，精确     地输出信息．

　　　　　　　图表信息与推理

合情推理是归纳推理与类比推理的统称，具有猜想和发觉结论、探究和供应思路的作用．其实质是“发觉”，它是进展我们创新意识的重要途径，随着课程改革的推动，近几年的高考题对利用图表信息进行合情推理的考查有所加强．
　把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的挨次排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2 015，则n＝________．

[解析]　图乙中第k行有k个数，第k行最终一个数为k2，前k行共有个数，由44×44＝1 936，45×45＝2 025知an＝2 015毁灭在第45行，第45行第一个数为1 937，第＋1＝40(个)数为2 015.所以n＝＋40＝1 030.
[答案]　1 030
[规律方法]　本题考查归纳推理．归纳推理是通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式，像本题这样通过观看、试验、思考，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的结论，乃是科学发觉的最基本的方法之一．

　　　　　　　图表信息与统计

统计这一章毁灭了很多图与表，如频率分布直方图、折线图、茎叶图、随机数表、频率分布表等．
　　　(2021·东北三校其次次联考)某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品开放了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，全部用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品依据得分分成以下几组：第一组[0，2)，其次组[2，4)，第三组[4，6)，第四组[6，8)，第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)分别求第三、四、五组的频率；
(2)该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．
①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②某人打算在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．
[解]　(1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五组的频率是0.050×2＝0.1.
(2)①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5＝3个，而第三组共有100×0.3＝30个，所以甲、乙两产品同时被选中的概率为P＝＝.
②在分层抽样的过程中第四组应抽到2个．第四组共有X个产品被购买，所以X的取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P

X的数学期望E(X)＝＋×2＝.
[规律方法]　频率分布直方图反映样本的频率分布；作频率分布直方图的一般步骤为：(1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；(2)打算组距与组数；(3)将数据分组；(4)列频率分布表；(5)画频率分布直方图．

　　　　　　　图表信息与方程、不等式

依据图表信息列方程或不等式解决的问题，大都通过图象、表格或几何图形的外形特征、位置特征、变化趋势以及数据、数量特征等方面来呈现信息；要求依据图表信息得到方程或不等式，由此解决问题，其根本在于得到数量之间的关系．
　依据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
　　[解析]　设f(x)＝ex－x－2，由已知表格可得f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.39－4>0，f(3)＝20.09－5>0，故f(1)·f(2)<0所以函数f(x)＝ex－x－2的一个零点即方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1，2)，即k的值为1.
[答案]　1
[规律方法]　函数零点所在区间的判定，可从两方面求解：一是依据函数零点存在性定理求解；二是依据函数图象求解．

　　　　　　　图表信息与函数

图表信息与函数、三角函数结合是高考的热点，求解的关键是抓住图形的一些信息，利用其信息所给数量求解问题．
　某地近年来持续干旱，为提倡节省用水，该地接受了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系式；
　(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：
月用水量x(吨)
3
4
5
6
7
频数
1
3
3
3
2
请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；
(3)今年干旱形势照旧严峻，该地政府号召市民节省用水，假如每个月消费不超过12元，该家庭称为“节省用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：
月用水

量x(吨)
1
2
3
4
5
6
7
频数
10
20
16
16
15
13
10
据此估量该地“节省用水家庭”的比例．
[解]　(1)y关于x的函数关系式为
y＝
(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；
当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；
当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.
所以该家庭去年支付水费的月平均费用为(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．
(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节省用水家庭”的频率为＝77%，据此估量该地“节省用水家庭”的比例为77%.
[规律方法]　(1)一些实际问题，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本例．
(2)解答函数应用题框图表示如下：

1．如图是一个几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，侧视图为始终角三角形，俯视图为始终角梯形，则此几何体的体积是(　　)

A.　　　　　　　　 B.
C. D．1
解析：选A.由三视图可知该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上、下底长分别为1、2，高为1，顶点在底面的射影是底面直角梯形较长的底边的中点，四棱锥的高为1，因此该几何体的体积为××(1＋2)×1×1＝.
2．把正整数按确定的规章排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a63＝18，若aij＝2 016，则i＋j＝(　　)
1
2　 4
3　 5　7
6　 8　10　12
9　11　13　15　17
14 16　18　20　22　24
…
A．77 B．78
C．79 D．80
解析：选D.观看此三角形数表可得到以下信息：(1)奇数行中都是奇数，偶数行中都是偶数；(2)第一行有1个数，其次行有2个数，第三行有3个数，…，依次类推，第2n行有2n个数；(3)单看偶数行，第2行、第4行共有6个数，而第4行最终一个数为12＝6×2，第2行、第4行、第6行共有12个数，而第6行最终一个数为24＝12×2，…，依次类推，前2n(n∈N*)行(包括第2n行)共有2＋4＋6＋…＋2n＝＝n2＋n(个)偶数，第2n行的最终一个数为2n2＋2n，当n＝32时，2n2＋2n＝2 112，故2 016应在第64行．又＝48，所以2 016应在第64行从左往右数第64－48＝16(个)数，所以i＋j＝64＋16＝80.
3．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)动身沿图中路线依次经过点B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律始终运动下去，则a2 013＋a2 014＋a2 015＝________．

解析：数列{an}的奇数项满足a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，…，可得a4k－3＝k，a4k－1＝－k；偶数项满足a2＝1，a4＝2，a6＝3，a8＝4，…，可得a2k＝k.所以a2 013＋a2 014＋a2 015＝a4×504－3＋a2×1 007＋a4×504－1＝504＋1 007－504＝1 007.
答案：1 007
4．(2021·山东青岛八中调研)已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，部分对应值如下表，f′(x)为f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，若两正数a，b满足f(2a＋b)<1，则的取值范围是________.
x
－2
0
4
f(x)
1
－1
1

解析：由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增．
由于f(－2)＝1，f(4)＝1，
∴－2<2a＋b<4.
∴a，b满足作出点(a，b)的可行域．(如图中阴影部分)
可以看作动点(a，b)与点C(－3，－3)连线的斜率．故∈.
答案：
5．某同学对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．

(1)依据茎叶图，挂念这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；
(2)依据以上数据完成如下2×2列联表：

主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下

50岁以上

总计

(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．
附：K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)

P(K2≥k)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．
(2)2×2列联表如下：

主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(3)K2＝＝10>6.635，
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
6．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要连续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速(km/h)
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离(m)
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1)以车速为x轴，刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
(2)观看图象，估量函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，请推想刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
解：(1)

(2)依据图象，设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将表中的前三组数值代入，得
解得
∴函数的解析式为y＝0.002x2＋0.01x(0≤x≤140)．
经检验，表中的其他各组值也符合此解析式．
(3)当y＝46.5时，即0.002x2＋0.01x＝46.5，
∴x2＋5x－23 250＝0，
解得x1＝150，x2＝－155(舍去)，
∴推想刹车时的速度为150 km/h.
∵150>140，∴发生事故时，汽车超速行驶．