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二次根式 知识点总结

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知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
举一反三：
1、使代数式有意义的x的取值范围是
2、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）
A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=
解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则xy=2014
举一反三： 1、若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。
若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.

知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3. 注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．

【典型例题】

【例4】若则 ．

举一反三：
1、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
2、若与互为相反数，则。
（公式的运用）
【例5】 化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：
3已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为
（公式的应用）
【例6】已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、

举一反三：
2、化简得（ ）
（A）　2　（B）　（C）－2　　（D）
3、已知，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：．
【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）
（A）x为任意实数 （B）≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或
【例9】如果，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）

2、若，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例10】化简二次根式的结果是
（A） (B) (C) (D)
1、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝ ；＝ 。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】下列根式中能与是合并的是( )
A. B. C.2 D.
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例13】 把下列各式分母有理化

（1） （2）

举一反三：
1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）

知识点七：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。
2、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②
8、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①； ②
【典型例题】
【例22】 比较与的大小。

【例23】比较与的大小。

【例24】比较与的大小。

【例26】比较与的大小。

已知：，求的值．

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