初三尺规作图和网格作图专题教学提纲.docx

初三尺规作图和网格作图专题

九年级数学
网格作图
1、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为l的网格中，点A，B，C均落在格点上．
（1）△ABC的面积等于 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，过点A画一条直线，交BC于点D，使△ABD的面积等于△ADC面积的2倍，写出画法并简要说明理由．

2、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上.
（1）的长等于 ；
（2）在的内部有一点，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）

3、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．
（Ⅰ）AE的长等于   ；
（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

4、引例：若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，ABc，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，．
（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：；
（2）特殊应用：若∠BAC=90°，==2，求的值；
（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断与的大小，并说明理由．

5、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）

6、如图，将三角形ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C，点P均落在格点上．（1）计算三角形ABC的周长等于　　　　　　．
（2）请在给定的网格内作三角形ABC的内接矩形EFGH，使得点E，H分别在边AB，AC上，点F，G在边BC上，且使矩形EFGH的周长等于线段BP长度的2倍，并简要说明你的作图方法（不要求证明）

7、如图将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（Ⅰ）计算AC2+BC2的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）如图所示。

8、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A， B， C， D均在格点上，点E， F分别为线段BC，DB上的动点，且BE =DF.
（Ⅰ）如图①，当BE =时，计算的值等于 ；
（Ⅱ）当取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　　.

尺规作图
1、如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠á=_ __°．
2、下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
3、如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
4、如图，已知矩形 .
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；
②作的平分线交 于点；
③连接;
（2）在（1作出的图形中，若，则的值为 .
5、如图，直线L1与L2相交于点O，A,B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点P.

6、如图，是的直径，，点在上，，为弧AN的中点，是直径上一动点.(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).来源:学科网ZXXK]
(2)求的最小值.

7、如图，在图中求作，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。

8、如图，是，，以AB为直径的交AC于D，的半径为5，
（1）利用尺规作图，过点D作⊙O的切线DE，交BC于点E，保留痕迹；
（2）求线段CD的长.

9、如图，在平行四边形中，是上一点，延长到点，使。用直尺和圆规在上作出一点，使（保留作图的痕迹，不写作法）。

10、（1）如图1，Rt△ABC中，若AC＝4，BC＝3，DE⊥AC，且DE＝DB，求AD的长；
（2）如图2，已知△ABC，若AB边上存在一点M，若AC边上存在一点N，使MB＝MN，且△AMN∽△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段MN (注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注)．

11、定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）识图：如图（1），损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径线段为 ．
（2）探究：在上述损矩形ABCD内，是否存在点O，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一圆上？如果有，请指出点O的具体位置；若不存在，请说明理由．
（3）实践：已知如图三条线段a、b、c，求作相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD（尺规作图，保留作图痕迹）．

12、苏教版九下P56，“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，则△ACD与△CBD相似吗？”于是，学生甲发现CD2=AD•BD也成立．
问题1：请你证明CD2=AD•BD；
学生乙从CD2=AD•BD中得出：可以画出两条已知线段的比例中项．
问题2：已知两条线段AB、BC在x轴上，如图2：请你用直尺（无刻度）和圆规作出这两条线段的比例中项．要求保留作图痕迹，不要写作法，最后指出所要作的线段．
学生丙也从CD2=AD•BD中悟出了矩形与正方形的等积作法．
问题3：如图3，已知矩形ABCD，请你用直尺（无刻度）和圆规作出一个正方形BMNP，使得S正方形BMNP=S矩形ABCD．要求：保留作图痕迹；简要写出作图每个步骤的要点．

13、如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

14、如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

15、如果三角形三边的长a、b、c满足=b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”，如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．
（1）如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a＜c）．用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F，若，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．

16、已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B连接AC
画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）
理解应用：（2）在（1）的条件下，若tan∠APB =12， 求点P的坐标
②当点P的坐标为 时，∠APB最大
拓展延伸：（3）若在直线y =43x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标

其他作图
1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点．
（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；
（2）结合图②，说明你这样画的理由．O
A
B
C
P
O
A
B
C
P

①
②

2、 如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

3、如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC，（1）线段BC的长等于　　　　　　；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点　　　　　　为圆心，以线段　　　　　　的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于
②连OD，在OD上画出点P，使OP得长等于，请写出画法，并说明理由．

4、已知钝角△ABC（如图），你能否将ABC分割成三个三角形，使其中之一是等腰三角形，另外的两个三角形相似？若能，请画出分割图并证明；若不能，请说明理由。
A
B
C

已知:如图,四边形 ABCD是平行四边形 
(1) 用直尺和圆规在 BC、AD上分别求作点 E,F使 AECF为菱形(不要求写作法,保留作图痕迹) ;
(2) (2)求证:AECF为菱形.

如图，线段AB绕点O顺时针旋转一定的角度得到线段A1B1．
1）请用直尺和圆规作出旋转中 心O（不写作法，保留作图痕迹）；
2）连接OA、OA1、OBOB1，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论；
3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段AB扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用a、b、c…表示，角的度数用α、β、γ…表示）．
你添加的条件是          ，线段AB扫过的面积是       ．

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，
AC＝6cm,BC＝8cm.
(1) 求⊙O的半径；
（2）请用尺规作图作出点P，使得点P在优弧CAB上时，△PBC的面积最大，请保留作图痕迹，并求出△PBC面积的最大值.

已知AB为⊙O直径，以OA为直径作⊙M．过B作⊙M得切线BC，切点为C，交⊙O于E．
（1）在图中过点B作⊙M作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；
（2）证明：∠EAC=∠OCB；
（3）若AB=4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值．

（1）如图1，△ABC中，，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为 ；
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长.
①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在图3中补全图形，求的度数；
③若，则的值为 .