辽宁省朝阳市三校协作体2021届高三下学期开学联考-数学(理)-Word版含答案.docx

2022—2021学年度下学期三校协作体高三开学联考
数学试题（理科）
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1.已知全集，集合，，则(∁U) （ ）

2.若，则是的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
3.已知，且，则 （ ）

4.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 （ ）
3 4 5 6
5.某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）

主视图
左视图
俯视图

（第4题图） （第5题图）
6.设函数，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是 （ ）

7.已知，则开放式中，的一次项系数为（ ）

8. 抛物线与双曲线有相同焦点F，点A是两曲线交点，且
⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）

9. 若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数 （ ）

10.已知定义在上的奇函数满足，若，，则实数的取值范围为 （ ）

11.平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四周体,使平面平面，若四周体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）

12.过抛物线的焦点作两条相互垂直的弦，则 （ ）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13. 已知复数，是z的共轭复数，则___________.
14. 已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________.
15.已知点为的重心，过点作直线与，两边分别交于两点，且 ，则___________.
16.在中，内角的对边分别为，已知，且，则的面积是___________.
三、解答题：（共6小题，共70分）
17. （12分）已知数列满足,，.
（1）求证：是等差数列；
（2）证明：.
18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，已知，，，.
(1)求证：；
(2)设 (0≤l≤1)，且平面与所
成的锐二面角的大小为30°，试求l的值.
19.（本小题满分12分）在一次考试中，5名同学数学、物理成果如下表所示：

同学
A
B
C
D
E
数学（x分）
89
91
93
95
97
物理（y分）
87
89
89
92
93
(1)依据表中数据，求物理分对数学分的回归方程：
(2)要从4名数学成果在90分以上的同学中选出2名参与一项活动，以表示选中的同学中物理成果高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望. （ 附：回归方程中，，）

20.(本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分） 设函数，其中.
（1）当时，证明不等式；
（2）设的最小值为，证明.

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
A
C
B
D
E
O
如图，内接于圆，平分交圆于点，过点作圆的切线交直线于点.
（1）求证：；
（2）求证：.
23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
(2)已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的解集为，，求证：.

高三数学试题（理科）参考答案及评分标准
（1） 选择题：
1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D 9.C 10.D 11.A 12.D
（2） 填空题：
13. 14. 4 15. 3 16.
三、 解答题：
17.证明：（1）
是以3为首项，2为公差的等差数列.
………………6分
（2）由（1）知： …………8分
，

. ………………12分
18. 解：（1）由于侧面,侧面，
故, ………………2分
在中, 由余弦定理得：
，
所以故,所以, ………………4分
而
………………6分
（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为
轴建立空间直角坐标系.
则，,.
所以,所以,
则. 设平面的法向量为，
则由,得,即，
令，则是平面的一个法
向量.
侧面,是平面的一个法向量，
.
两边平方并化简得，所以=1或（舍去）
………………12分
19.解：（1），
………………2分
，

.
所以，物理分对数学分的回归方程为; ………………6分
（2）随机变量的全部可能取值为0,1,2
;; …………9分
故的分布列为

0
1
2

………………12分
20.解：（1）点的轨迹方程为 ………………5分
（2）设点的坐标为，点的坐标分别为，
则直线的方程为，
直线的方程为.
令，得，
于是的面积，
………………8分
直线的方程为，，
点到直线的距离，
于是的面积， ……………10分
当时，得，
又，所以，解得，
由于，所以，
故存在点使得与的面积相等，
此时点的坐标为 ……………12分

21.证明：（1）设，
则，
当时，，在上是增函数； ………2分
当时，，即，
成立， ……………4分
同理可证，
所以，. ……………6分
（2）由已知得函数的定义域为，
且，令得
……………8分
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
所以，的最小值，
……………10分
将代入，
得 即；
所以，即
……………12分

22. （1）∵BE为圆O的切线
∠EBD=∠BAD ………………2分
又∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD
∴∠EBD =∠CAD ………………4分
又∵∠CBD=∠CAD
∴∠EBD=∠CBD ………………5分
（2）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB
∴△EBD∽△EAB ………………7分
∴
∴AB•BE=AE•BD ………………9分
又∵AD平分∠BAC ∴BD=DC
故AB•BE=AE•DC ………………10分
23.解：（1）曲线的一般方程为，
化成极坐标方程为 ………3分
曲线的直角坐标方程为 ……………5分
（2）在直角坐标系下， ，，
线段是圆的一条直径
由 得
是椭圆上的两点，
在极坐标下，设
分别代入中，
有和

则 即. ……………10分
24. 解：（1）当a=2时，不等式为，
不等式的解集为； ……………5分
（2）即，解得，而解集是，
，解得a=1,所以
所以. ……………10分