2022届高三数学一轮总复习基础练习：第二章-函数、导数及其应用2-10-.docx

第十节　函数模型及其应用
时间：45分钟　分值：100分

一、选择题
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B．幂函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析　依据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
答案　A
2．(2021·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特殊是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据猜测，这四种方案均能在规定的时间T内完成猜测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)

解析　由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应当渐渐增大，故选B.
答案　B
3．牛奶保鲜时间因贮存温度的不同而不同，假定保鲜时间与贮存温度的关系为指数型函数y＝kax，若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h，那么在10 ℃时保鲜时间约为(　　)
A．49 h B．56 h
C．64 h D．72 h
解析　由题意知，解得则当x＝10时，y＝100a10＝100×2＝64 (h)．
答案　C
4．(2022·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，其次年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝－1，故选D.
答案　D
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
解析　依题意可设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)．故当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
答案　B
6．已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干接受两种包装，其包装费及售价如表所示：
型号
小包装
大包装
质量
100克
300克
包装费
0.5元
0.8元
售价
3.00元
8.40元
下列说法中：
①买小包装实惠；
②买大包装实惠；
③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；
④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．
全部正确的说法是(　　)
A．①④ B．①③
C．②③ D．②④
解析　1包小包装每元买饼干克，1包大包装每元可买饼干＞克，因此，买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．
答案　D
二、填空题
7．计算机的价格大约每3年下降，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．
解析　方法1：设计算机价格平均每年下降p%，
由题意，可得＝(1－p%)3，∴p%＝1－.
∴9年后的价格为
8 100×9＝8 100×3＝300(元)．
方法2：9年后的价格为
8 100×3＝8 100×3＝300(元)．
答案　300
8．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是________．
解析　由题意，第k档次时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴k＝9时，获得利润最大．
答案　9
9．生活阅历告知我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．

解析　A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；
B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；
C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
答案　(4)　1)　(3)　(2)
三、解答题
10．某工厂在政府的帮扶下，预备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入(单位：万元)近似满足函数R(m)＝5 000m－500m2(0≤m≤5，m∈N)．
(1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位：百台，x≤5，x∈N*)的函数关系式；(说明：销售利润＝实际销售收入－成本)
(2)因技术等缘由，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)＝500x＋500(x≤3，x∈N*)，问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？
解　(1)由题意得y＝5 000x－500x2－500－1 000x，
即y＝－500x2＋4 000x－500(x≤5，x∈N*)．
(2)记工厂所得纯利润为h(x)，则
h(x)＝－500x2＋4 000x－500－u(x)
＝－500x2＋3 500x－1 000，
∵－500(x2－7x)－1 000＝－5002＋5 125(x≤3，x∈N*)，
∴当x＝3(百台)时，h(x)max＝5 000(万元)．
故当年生产量为3百台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5 000万元．
11．(2022·上海六校二联)为了爱护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－50x＋900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．
(1)当x∈[10,15]时，推断该项举措能否获利？假如能获利，求出最大利润；假如不能获利，恳求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
解　(1)依据题意得，利润P和处理量x之间的关系：
P＝(10＋10)x－y＝20x－x2＋50x－900
＝－x2＋70x－900＝－(x－35)2＋325，x∈[10,15]．
∵x＝35∉[10,15]，P＝－(x－35)2＋325在[10,15]上为增函数，
可求得P∈[－300，－75]．
∴国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损．
(2)设平均处理成本为
Q＝＝x＋－50≥2 －50＝10，
当且仅当x＝时等号成立，由x>0得x＝30.
因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．

1．(2021·郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但假如年产量超过150吨，会给环境造成危害，为爱护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)
A．5年 B．6年
C．7年 D．8年
解析　第n年的年产量
y＝
由于f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)，所以f(1)＝3，
当n≥2时，f(n－1)＝n(n－1)(2n－1)，
所以f(n)－f(n－1)＝3n2，
n＝1时，也满足上式．
所以第n年的年产量为y＝3n2，
令3n2≤150，所以n2≤50，
由于n∈N，n≥1，
所以1≤n≤7，所以nmax＝7.
答案　C

2．(2022·陕西卷)如图，修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)
A．y＝x3－x2－x
B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x
D．y＝x3＋x2－2x
解析　方法1：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为y＝－x，在(2,0)处的切线方程为y＝3x－6，以此对选项进行检验．A选项，y＝x3－x2－x，明显过两个定点，又y′＝x2－x－1，则y′|x＝0＝－1，y′|x＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.
方法2：设该三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题设有
解得a＝，b＝－，c＝－1，d＝0.
故该函数的解析式为y＝x3－x2－x，选A.
答案　A

3．如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.
(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
解　(1)由题意，得
解得即9≤x≤15.
(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意，得y＝a×π×2＋ax×πx2＋×
＝，
令f(x)＝－x4＋x3－12x2，
则f′(x)＝－x3＋4x2－24x
＝－4x，
由f′(x)＝0，解得x＝10或x＝15.
列表如下：

∴当x＝10，f(x)取微小值，即y取最小值．
故当x＝10 m时，可使“环岛”的整体造价最低．